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MATEMAT1CA Marcelo Rufino de Oliveira

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ÁLGEBRA ARITMÉTICA PROPORÇÃO FRAÇÕES

+ a3x“ – 4 + … + a” -2 x + a

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I

Marcelo Rufino de Oliveira Com formação pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Desde 1998 desenvolvendo trabalho como: Coordenador de Turmas ITA/IME Professor de Matemática de Turmas ITA/IME Professor de Física de Turmas ITA/IME Professor de Olimpíadas de Matemática

ÁLGEBRA ARITMÉTICA PROPORÇÃO FRAÇÕES

2a edição (2020)

Copytighl © 2020 hy marcela rufmodc oliveira

I odos os direitos desta edição estão reservados á Marcelo Rufino de Oliveira Belém – Pará – Btasil E-mail marcelorulino’» hotmail com

Ilustração da Capa Marcelo Rufino de Oliveira

i

|

LOUDESPACHECO Ficha Catalográlka

F48.

.Oliveira. Marcelo Rufino de Coleção elementos da matemática. 0 álgebra, aritmética, proporção, frações / Marcelo Rufino de Oliveira. – 2 ed. – Fortaleza 2020. 454 p.

ISBN. 978-85-6065318-8

I

i

É proibida a reprodução parcial ou total por quaisquer meios sem autorização prévia do

autor, os transgressores serão punidos com base no artigo 7′ . da lei 9.610/98 Denuncie o plágio ou cópias ilegais anonimamente através do correio eletrônico do autor:

[email protected]

Todo o conteúdo dessa obra encontra-se registrado na Biblioteca Nacional do Rio de Janeiro.

í I

I

APRESENTAÇÃO À 2a EDIÇÃO Esta é a segunda edição do volume zero da Coleção Elementos da Matemática. A coleção foi inicialmente programada para apresentar apenas o conteúdo de Ensino Médio, dividido em seis volumes. Entretanto, os autores acharam interessante também abranger o conteúdo do Ensino Fundamental, notadamente os tópicos cobrados em concursos militares, fazendo com que o volume 0 fosse adicionado à coleção em 2011 e posteriormente atualizado em 2020. Os principais tópicos abordados no volume 0 são álgebra (potenciação e radiciação. operações algébricas, equações e inequações), sistema métrico, frações (ordinárias e algébricas) e razão e proporção. O capítulo sobre bases de numeração, que constava no apêndice do volume 1, agora será abordado com mais detalhes no volume 0.

Os volumes 1, 2, 3, 4 e 5 desta coleção são reconhecidamente voltados para os vestibulares militares de ensino médio, sobretudo ITA e IME. Os autores da coleção têm recebidos excelentes retornos dos candidatos de concursos militares sobre a importância da coleção em sua preparação. Por outro lado, o volume 0 é voltado para os concursos militares de ensino fundamental, como as provas da Epcar e Colégio Naval. Porém, não se engane com relação à complexidade das provas de matemática destes vestibulares, simplesmente por cobrarem conteúdo de ensino fundamental. São provas dificílimas, ainda mais se levarmos em consideração o grau (ou a falta!!!) de maturidade de um aluno nos anos finais de ensino fundamental. Mesmo assim, este livro pode ser encarado como um livro de embasamento, pois os assuntos são trabalhados de forma bem mais detalhista e com exercícios iniciais bem acessíveis em relação aos demais volumes da coleção. Nesta segunda edição o autor procurou aumentar a quantidade de exercícios de alta dificuldade, resolvidos e propostos, de modo que o aluno já embasado possa aprofundar mais seus conhecimentos.

Em relação à primeira edição, lançada em 2011, foram incorporadas várias atualizações, tais como: 1) introdução de muitos novos exercícios resolvidos e exercícios propostos, com aumento do nível médio de dificuldade dos exercícios do livro, muito em função da inserção de muitas questões de olimpíadas de matemática em vários capítulos desta obra; 2) acréscimo de novos tópicos teóricos, principalmente nos capítulos sobre médias e juros; 3) correção de alguns gabaritos; 4) nova identidade visual; 5) organização dos exemplos resolvidos e exercícios propostos em ordem de dificuldade, 6) aumento do tamanho da fonte utilizada, motivo de muitas reclamações de leitores nas edições anteriores.

O autor deste volume espera que as atualizações adotadas tornem a leitura e o estudo deste livro em uma experiência bem mais agradável.

Os assuntos neste livro são de uma importância impar na matemática, pois formam a sua base algébrica e aritmética. A ideia de numero muito provavelmente nasceu com a natural necessidade humana de contar os objetos do mundo ao seu redor, como animais, frutas ou pessoas. Para esse propósito (contagem ou cardinalidade), o conjunto dos números naturais serve perfeitamente. Com o decorrer do tempo houve a necessidade de medir grandezas (massas, comprimentos, volumes, tempo, etc.). Medir uma grandeza significa compará-la com outra, da mesma espécie, denominada unidade de medida (padrão). Entretanto, é de esperar-se que nem todo ser humano (ou qualquer outro material) tenha uma massa correspondente a um múltiplo inteiro de 1 kg. É comum encontrar massas “quebradas”, isto é. do tipo 87,654 kg, por exemplo. Dessa forma, surge a necessidade da noção dos números racionais (ou “fracionários”), para os quais a unidade é subdividida em quantidade conveniente de partes iguais, até que alguma dessas partes caiba um número inteiro de vezes na grandeza a ser medida.

O desenvolvimento da simbologia algébrica sofreu uma evolução ao longo de três fases: a álgebra retórica (ou falada), a álgebra sincopada (emprego de abreviaturas de expressões) e a álgebra simbólica. Nesta última fase, o simbologismo algébrico sofreu várias mudanças, até tornar-se razoavelmente estável. Quem teve papel fundamental no estabelecimento da simbologia algébrica foi o matemático francês François Viéte, que em seu livro IN ARTEM ANALYTICAMISAGOGE, por introduzir letras como coeficientes numéricos. Posteriormente, quem introduziu uma nova revolução na álgebra foi René Descartes, que foi responsável pela aceitação dos números complexos. A simbologia adotada por Descartes é muito parecida com a utilizada atualmente. Possivelmente, seus textos algébricos sejam os mais antigos em que um aluno de matemática consiga entender perfeitamente toda a notação algébrica. Por exemplo, foi Descartes que adotou letras minúsculas para representar números: x. y e z para variáveis e a, b, c e d para coeficientes. Também introduziu a notação de potência como xn e passou a escrever as equações na forma canônica, ou seja, igualando as equações a zero.

Em tempos mais antigos, como no Egito e na Babilônia, a álgebra era retórica. Os estudiosos da matemáticos na Europa do século XVI foram obrigados a estender a noção indo-arábica de número antes de poderem avançar além dos resultados babilônios de resolução de equações. A álgebra estabelecida por Pitágoras e Euclides na Grécia era eminentemente geométrica. O renascimento da álgebra no continente europeu foi devido à muitos fatores, dentre os quais se destacam:

1. Facilidade na manipulação de trabalhos numéricos por meio do sistema de numeração indo-arábico, 2. Invenção da imprensa; 3. Ressurgimento da economia.

A coleção Elementos da Matemática passou por vários formatos de divisão de conteúdos e autores em seus volumes. Atualmente, a coleção está organizada da seguinte maneira:

Volume 0 – Álgebra, Aritmética, Proporção e Frações Autor: Marcelo Rufino de Oliveira Volume 1 – Conjuntos, Funções e Teoria dos Números Autor: Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro

Volume 2 – Geometria Plana Autores: Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro

Volume 3 — Sequências, Combinatória, Probabilidade e Matrizes Autor: Marcelo Rufino de Oliveira

Volume 4 – Números Complexos, Polinômios e Geometria Analítica Autores: Marcelo Rufino de Oliveira Volume 5 – Geometria Espacial e Trigonometria Autor: Marcelo Rufino de Oliveira Até a data de lançamento da 2a edição deste volume (junho de 2020). os volumes 0, 2 e 5 já estão seguindo o novo formato de identidade visual. A proposta é lançar todos os volumes nesse novo formato em um prazo de 3 anos.

Qualquer erro encontrado em um dos volumes pode ser reportado aos autores no e-mail [email protected] Sua contribuição é muito importante para a melhoria da qualidade das próximas tiragens dos livros. Bom proveito nos seus estudos!!!

O autor


3 utiliza-se o numeral de n para denominar cada raiz. Assim, VÃ é chamada de raiz quarta de A, VÃ é chamada de raiz quinta de A, VÃ é chamada de raiz sexta de A. assim por diante. 1.2.1. Propriedades: 1) A raiz de ordem n de um número real positivo sempre é positiva. Demonstração: Se VÃ = x então x” = A. Lima vez que A > 0 então necessariamente x > 0. 2) A raiz de ordem ímpar de um número real negativo sempre é negativa. Demonstração: Se VÃ = x então xn = A. Corno A < 0 e n é ímpar então necessariamente x é negativo.

3) Não existe, no campo dos números reais, a raiz de ordem par de um número real negativo. Demonstração: Suponhamos que exista um número real x de modo que VÃ = x. ou seja, x” = A. Observe agora que se n é par, não importando o sinal de x, sempre x” será um número positivo. Como A < 0. temos uma contradição. 4) A potência de n e a raiz de n são operações matemáticas inversas. Assim, pode-

se afirmar que (VÃ) = A . Demonstração: Pela definição de raiz de ordem n. se VÃ = x então x” = A. ou seja, (VÃ) = A .

—I

◄TZjí . TÃÃ Ã; 5) Seja x e y números reais de mesmo sinal e n um inteiro positivo. Se x” = yn então x = y. Demonstração: Se x e y são números reais de mesmo sina): x” = A => x = Va-,

y” – A => y = VÃ Assim, conclui-sc que x = y. Obs: Note que se x e y forem números reais negativos, a propriedade acima somente c válida se n for um número inteiro impar. 6) Se A e B são números reais ou expressões algébricas e n é um número inteiro maior ou igual a 2: Va.B = VÃ.Vb .

Demonstração: Note que (VÃb)” = A.B e que (VÃ.Vb)” = (VÃ)” (VÃ)” = A.B. Como Va.B e VÃ.Vb possuem o mesmo sinal, pela propriedade 5 conclui-sc que

VÃb = VÃ.Vb . 7) Se A c B são números reais ou expressões algébricas e n é um número inteiro maior ou igual a 2:

[Ã VÃ VB

Vb ’

Demonstração: Repare que

/Ô

f ÍÃY a [vB) ~ B

e

(^)” A VÃ’ ” =——- = —. Vb? (Vb)” B

Logo, temos dirclamcntc que

v

b Vb ’ Obs: Caso A/B < 0 então a propriedade somente é válida se n for ímpar. m

8) Se n e m são números inteiros e A é um número real: vA,n = An . Demonstração:

Perceba que (VAm ) = Am,n e que (An )n = A”

=Am.

Obsl: Caso A < 0 a propriedade acima é válida somente de m for par ou n for ímpar. Obs2: A propriedade acima permite concluir uma expressão alternativa para a __

radiciação de números reais:

I

VÃ = A” .

————————- „—————————

9) Se A e B são números reais e n é um número inteiro: \/An.B = A\/b , Demonstração:

(VÃ^b)” = A”.B e

Elevando cada um dos membros da igualdade a n lemos que:

(a.Vb) = A”.B, de onde conclui-se a validade da tese. k jy ^k.m

10) Se n, m e k são números inteiros e A é um número real: Demonstração: k m

m

Pela propriedade anterior: vAkm = Ar” = A ” = x/ Am 11) Se n, m e p são números inteiros e A e B são números reais: ______

k

in

^A’n.Bk = A”.B”.

Demonstração: n

Observe que

Am.Bk

( – kv nk = Aa m .B e que An .Bn

m \n (

f

An

k

= Am ,Ak

An

/ \

> Am

12) Se A é um número real e m e n são números inteiros:

Demonstração: Elevando cada

um

dos

í(^)’bHÍ”=A

111

membros

da

igualdade

a

n

lemos

que:

e (Va”’ j =A’n, de onde conclui-se a validade da

tese. 13) Se A é um número real e n e m são números inteiros: Demonstração: r

Note que (V^aJ lese é verdadeira.

_____

=hV?A j

n/rry

_ n.ny

A.

-iin

=(‘VÃ)”’ = A e que (“‘dCÃ)””’ = A. ou seja, a

1.3. EXPOENTES FRACIONÁRIOS Na verdade, já foram estudadas algumas propriedades relacionadas aos 2 n> expoentes fracionários, uma vez que na radiciação tem-se que VÃ = A”. Agora serão estudadas as propriedades gerais dc expoentes fracionários, mesmo quando o numerador não necessariamente vale 1.

1.3.1. Propriedades n

2*2

f

1) Se A é um número real e n, p, r e s são números inteiros: Ap .A’ = Ap ‘. Demonstração: n

____

r

II 5-1 p

A p .A’ = VÃ7.VÃ7 = PVÃp?.PVÃ77 = p>y A”1 .Arp =PVÔ

p

I

II

=AP’\

=A n

Ap “-1 2) Se A é um número real e n, p, r e s são números inteiros: —- = Ap s.

A*

Demonstração: n S-C P

—==Vã7.Vã7=pVÃ77.pVÃ7p = “VÃ77 A A:

Va-

P _ pVa”s’’ P = A

(

3) Sc A é um número real e n, p, r e s são números inteiros:

n\;

ii r

7

Demonstração:

( ! ‘* Ap

=^ 0 e 7. > 0), o valor de (x ■ y • z) 1 é: i

(A)I9999 (13)19996 Solução: Alternativa E

(D)l 999-ft

(C)1999″ 1

Vx* =1999″

x5 = 19996 i

Vy =1999*

X’

2

(E)I999’9

J

,

= (1999″ )2

x = 19991′

i \

y2 =19991

= (19994)2

y:

y = 1999s

/ 4

Vz4 = 1999s I

x5 =1999*

( X45 y

= (l999x)4 1

x= 1999″‘ 1

’7i ■■ I

(x.y.zp = (1999o. 1999x. 1999″‘) = (1999“li’1″ p =(|999-7p =|999‘ •

= 1999 0

.1 5) (Unicamp-93) Dados os dois números positivos, V7 e V4, determine o maior. Solução: A melhor maneira de comparar os dois números é escrevê-los de uma forma que estejam elevados à mesma potência. 1 1 1 1 1 1 1 1 64, conclui-se que V7 > y/Ã.

(6,25×1 O*3) *

-1

6) (EPCAr-04) 0 valor da expressão

é

(6,4×10’3)’ 3

d) V?

c) xÍ3

b)T Solução: Alternativa A J

I

1 ” 2

I

I 2

i

(625. IO-4 )4

(6.25. IO*3)4 J (6.4.1o*3) 3 I

i

j

1

1

i

1

= [2O.IO*3p = 20 :.10 = (23) 2(5) 2.10 =

i

4‘*. 10

J43) 3(lü”)”3 _

(64.10“’)3 _i

I 2

5.10’1

10 5 5 2x/5~V5”

Va :Va

7) (Colégio Naval-64) Dê a expressão mais simples de

$

Vã.Va a

Solução:

a

I a

_al,6‘

tfã.yfa a

a1’3 1/9 a*’2 -a

a

1Z4-I/6I/8

a -1/24

l/S-l/2.1/V

T-IZI8

= a -1/24.l/1S=a l/K

_ 72/7 —

a.

a

8) (UECE-02) A expressão numérica 5V54-3VÍ6 é igual a:

A) V1458

B) V729

C) 2V7Õ

0)2^38

Solução: Alternativa A Sabendo-se que 54 = 2.3’ e 16 = 2’’: 5^54-3^16 = 5V233-SxS = 5V2.V?-3VF.V2 = 15^/2-6^2 = 9^2 =

= >4li«iXo»le^ -A-~ * ■’■.-* . f_

– _._ l

13) (UEPB-10) Sejan quando simplificada é: a) 1^9 b) 92n

c) 9″

d)9

72 9

e) I

14) (Epcar-16) Sobre os números reais positivos a, b, c. d, p c q, considere as informações abaixo: _i

_____

i

I) (abc) 5 = Jf),25 c (abcd)2 = 2-s/TÕ

II) Vp = 32 e 7Í = 243 O valor de x =

d

-é um número

(pq)5 a) racional inteiro. b) decimal periódico. c) decimal exalo menor que 1 d) decimal exalo maior que 1

15) (EPCAr-IO) Analise as expressões abaixo. J(0,005)2(0,000075) (5.IO”4)(2’I/3 B=A”V 10 ->-1/3

Marque a resposta correta. a) A ■» B > 0

b) A.B = – 1

c) — = -l B

d) A-‘ = B

— ——- —— •

16) (EPCAr-00) Simplificando a expressão abaixo, obtém-se

r ^3 / 1 + \/li 0 – \/83 j Y \/3 I + vl0- v83 – \/4 4

a)(-2)-‘

d) (-2):

b)-2

compreendido entre a) -0,061 e-0,06 b) -0,062 e-0,061

-2)

526

17) (Epcar-13) O oposto do número real

X =——– r

está

128

495

c) -0,063 e -0,062 d) -0,064 e -0.063

18) (Unimontes-05) Se a = -\/-64 c b = 16 4, então a única alternativa correia é

a) a + b = 9/2

b) a = b

d) a.b = 1/8

c)a:b = 2

15b

/

3125 + —. +

19) (Colégio Naval-16) Calcule o valor de X =

e assinale a opção correta. a) 216 b) 22,) c) 224

1.5-2_|+(-l)2ü5x

c)227

d) 22″

C 2

iu

2\

20) (Unifor-03) Simplificando-se

/8Õ – x/5ÕÕ

q = (*”S)

r = 0J8.

^0725 +1 ‘ l2 1

– 2250i

Se x é o número obtido pelo produto entre p. q er. então x é um número a) irracional positivo. c) racional negativo. b) irracional negativo. d) racional positivo. V3 i

43) Calcule o valor de

\-4 44) Simplifique a expressão

x a

a-‘ Y

a+l

a a +a a

45) Simplificar a expressão « \

7 I \a

/ 2

aa-1. ad +1

46) Calcule o valor de A =

47) Simplificar a expressão –

X 2Vx4

x

3

X

xf

R

-1 >

■ ■

1

48) Calcular o valor de cada uma dessas expressões: a) A =

b) B = 64

c) C =

|_64_

«É d) D = y/8\/2yj

e) E = Võ 49) Simplificar

50) Determinar o valor de 3

4

51) Simplificar ■

\a\la /

i————–

, calcule o valor de a.

52) Se o expoente final de x é 15 em

Ê

BASES DE NUMERAÇÃO 2.1. INTRODUÇÃO

Base de um sistema de numeração é a quantidade de algarismos que podem ser utilizados para representar os números. Até então, neste livro, utilizamos o sistema de numeração de base 10, que já foi alvo de estudo do capítulo 3. Neste sistema os números são representados pelos algarismos 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Entretanto, esta não é a única forma de representar um número. Ao longo da história várias civilizações utilizaram outros métodos para representar os números. Atualmente, usa-se o sistema de numeração posicionai, onde os algarismos são ordenados da esquerda para a direita e a posição de cada algarismo diferencia o número. Por exemplo, na representação decimal do número 7329 o algarismo das unidades é 9 e representa 9.10°, o algarismo das dezenas é 2 e representa 2.101, o algarismo das centenas é 3 e representa 3.102 e o algarismo do milhar é 7 e representa 7.10’. Os algarismos também são denominados pela ordem que ocupam no número, de acordo com a potência a qual estão associados. Desta maneira, no número 7329, 9 é o algarismo de ordem 0 (está associado a 10°), 2 é o algarismo de ordem 1 (está associado a I01), 3 é o algarismo de ordem 2 (está associado a I02) e ‘ é o algarismo de ordem 3 (está associado a 103). Assim, a expressão que aractcriza a representação cm base 10 do número tomado como exemplo c 7329 = .10’+ 3.1O2 + 2.101 + 9.10″. Outras bases são utilizadas no dia a dia, como por exemplo a base 60, usada na contagem do tempo em minutos e segundos. A base 12 é usada no comércio para contagem da quantidade de parafusos, bananas, etc. A base 2 é utilizada na linguagem de computadores, onde os números são sequências (algumas delas muito longas) dos algarismos 0 e 1. Para uma determinada base b (2 < b < 10) os algarismos desta base são os inteiros de 0 a b – 1. Por exemplo, na base 2 os dígitos são 0 e I. na base 6 os dígitos são 0, 1,2, 3, 4 e 5, enquanto que na base 8 os dígitos são 0. 1,2. 3. 4. 5, 6 e 7. Quando a base é maior que 10 é necessário usar letras para representar os algarismos maiores que 9. Por exemplo, na base 16 os algarismos são 0, 1,2. 3, 4, 5. 6, 7, 8, 9, A, B, C. D, E e F, onde A representa 10, B representa 11, C representa 12, D representa 13. E representa 14 e F representa 15. A forma geral de representar um número em base b (b e IN, b > 2), cujos algarismos nesta base são. da esquerda para a direita, iguais a ao, ai, az,…, a„, c: (anan-i…a2aiao)i, = an.bn + an-i.bn 1 + … + az.b1 + ai.b1 + ao.b0

’____________________________

Nesta representação, a simbologia (n)o significa o número n escrito na base b. Por exemplo, uma vez que 14 = I.23 + 1.22 + 1.21 + 0.2″, a representação do número 14 na base 2 é (1110):. Por outro lado, 25 = 4.61 + 1.6″ significa que o número 25 na base 6 é (41 ) (l.b + 2)3= l.b3 + 7.b2 + 5.b + O => b3 + 6b2 + 12b + 8 = b3 + 7b2 + 5b => b2 – 7b – 8 = 0 => (b – 8)(b + 1) = 0 => b=8

3) (UERJ-07) Admita a possibilidade de contar objetos de duas maneiras, uma na base x e outra na base (x + 3). Ao empregar essas duas maneiras para contar um determinado grupo dc objetos, obtemos (2343 K = (534)x 13. Calcule o valor da base x e as outras duas raizes da equação resultante. Solução: Em base 10: (2343)x = (534\• 3 => 2.×3 + 3.×2 + 4.x + 3 = 5.(x + 3)2 + 3.(x + 3) + 4 => 2×3 + 3×2 + 4x + 3 = 5(x2 + 6x + 9) + 3x + 9 + 4 => 2×3 + 3×2 + 4x + 3 = 5×2 + 30x + 45 + 3x + 13 => 2×3 – 2×2 – 29x – 55 = 0 Pesquisando as raízes da equação, se verifica que x = 5 é solução. Logo: 2×3 – 2.×2 – 29x – 55 = (x – 5)(2×2 = 8x + 11) Assim, a base é x = 5 e as outras duas raizes são irracionais.

….

4) (Olimpíada do Canadá-77) N é um inteiro cuja representação em base b é 777. Determine o menor inteiro positivo b para o qual N c a quarta potência de um inteiro. Solução: Segundo o enunciado, tem-se que (777)h = k4 = 7b2 + 7b – 7 = k* 7(b2 + b+l) = k4 => 7 | k => o menor k é 7 Fazendo k = 7: h>(l

b2 + b+l=343 => b2 + b-342 = 0 => (b + 19)(b – 18) = 0 =>

b- 18

5) (Olimpíada da Austrália-1 8) Se 234b-1 – 234i>_| = 70to, como é 234h em base 10? Solução: Convertendo tudo pra base 10: 234b > i – 234b-1 = 70™ => 2(b + 1 )2 + 3(b + 1) + 4 – 2(b – 1 )2 – 3(b – I) – 4 = 70 => 2b2 + 4b + 2 + 3b + 3 – 2b2 + 4b – 2 – 3b + 3 = 70 => 8b + 6 = 70 => b = 8 Assim: 234h = 234K = 2.82 + 3.8 + 4 = 156

6) Durante muitos anos, a UFSC (Universidade Federal de Santa Catarina) adotou um curioso modelo de questão em seu vestibular. Logo após o texto base da questão, há uma certa quantidade de afirmações sobre o assunto contido no texto base, que devem ser julgadas como verdadeiras ou falsas. As afirmativas são numeradas com potências de 2. iniciando cm I. Por exemplo, cm uma questão com 6 afirmativas, as numerações são I. 2. 4. 8. 16 e 32. O candidato deve assinalar no cartão resposta a soma das numerações das afirmativas que ele julgou serem verdadeiras. Por exemplo, se o candidato julgou que as verdadeiras são I, 8 e 32. o número I + 8 + 32 = 41 deve ser assinalado no cartão resposta. E permitido que todas as afirmações sejam falsas, bastando o candidato deve assinalar o número 0. A coordenação do vestibular da UFSC garante que a partir de cada número corretamente assinalado no cartão resposta é possível identificar exatamente quais são as afirmativas que o candidato julgou serem verdadeiras. a) Demonstre que a coordenação do vestibular da UFSC está correta. b) Quantas números distintos podem ser assinalados no cartão resposta em uma questão com 6 afirmativas? Solução: a) Cada soma é da forma N = xn 2n + xn_( 2n-1+…+x32J + x222 + X] 21 + x02°, onde Xi = 1 se a afirmação numerada com 2′ é verdadeira e Xi = 0 se a afirmação numerada com 2‘ é falsa. Note que a expressão de N é exatamente igual a escrever N em base 2, ou seja. N = (xnxn- 1…X3X2X 1X0)2. Como um número possui somente uma forma de ser representado em uma determinada base, existe apenas uma maneira de escolher os Xi iguais a 0 ou 1. b) Como cada x: pode valer 0 ou 1. existem 26 possibilidades dc escolher a sequência (X5X.1X3X2X 1X0)2, que é a representação de N em base 2.

M = (b4 + 4b3 + 6b2 + 4b + 1) + b + 4 M = (b + 1 )4 + (b + 1) + 3 => M = l.(b+ l)4 + 0.(b+ I)3 + O.(b + I)2 l.(b + 1) + 3.(b + l)ü Então M = (IOO13)h- i

i.._ _■

M em

. … 2:.’.

£xereícios propostos 1) Converta o número 463 de base 10 para base 16.

2) Sejam a = 1011 e b = III dois números escritos no sistema de numeração de base dois. Calcule, em base dois, o valor do produto ab.

3) (ESSA-87) Entre as alternativas abaixo, a única falsa é: (A)(lll)2 = 7 (B) 4-(100): (0(1000)2=8 (D) 10 = (1011)2 (E) 21 =(10101)2 4) (ESSA-88) O número binário 101010 (base 2) escrito na base 5, é: (A)132 (B)23l (C)312 (D)321 (E)345

5) (CM Salvador-07) Nosso sistema de numeração é decimal pois existem dez símbolos: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7. 8, 9. Os computadores utilizam um sistema de numeração binário, ou seja, só utilizam 2 símbolos: 0 e I. Dessa forma, o primeiro número desse sistema é I, o segundo é 10, o terceiro é 11, o quarto é 100, e assim por diante. O número 10.000 do sistema binário corresponde, no sistema decimal, ao número: (A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 16 (E) 18 6) (UEM-10) Considerando os números naturais capícuas, também denominados palíndromos, de quatro algarismos, isto é, os números do tipo abba que podem ser lidos da esquerda para a direita, ou da direita para a esquerda, da mesma forma, assinale o que for correto. 01) No sistema decimal, todo número abba, com algarismos a e b em {0, I, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9}, pode ser escrito como 1001 x a +110*b . 02) No sistema decimal, todo número capícua de quatro algarismos é divisível por II. 04) O número decimal 9, quando representado no sistema de numeração de base 2, cujos algarismos pcrtcnccm a {0, I). c capícua. 08) O número (2112); , na base 3, quando representado na base 10. é divisível por 3. 16) O número (abba)n, na base n. n >1 . quando representado na base 10. é múltiplo

de n +1. 7) (UERJ-07) Um sistema de numeração de base b. sendo b > 2, utiliza b algarismos: 0. 1,2. 3 b – 1. O sistema de numeração usual é o decimal. Quando

escrevemos um número nesse sistema, a base 10 não precisa ser indicada. Por exemplo, o número 3548 corresponde a 3 x 103 + 5 * 102 + 4 x 10‘ + 8x 10°. Em qualquer outro sistema, c preciso indicar a base. Por exemplo, o número (2043)s está escrito na base b= 5 e corresponde a 2 x 53 + 0 x 52 + 4 x 51 + 3 x 50, ou seja, 273 no sistema decimal. a) Sabe-se que, em qualquer base, o acréscimo de zeros à esquerda da representação de um número não altera seu valor. Os números (301)7 e (0301)7 são, portanto, iguais e formados por três algarismos. Calcule, no sistema de numeração de base 7. a quantidade total de números que possuem somente quatro algarismos distintos. b) Admita a possibilidade de contar objetos de duas maneiras, uma na base x e outra na base (x + 3). Ao empregar essas duas maneiras para contar um determinado grupo de objetos, obtemos (2343k = (534k • 3. Calcule o valor da base x. 8) (Unicamp-94) Os números a = 2121 eb = 136 estão escritos nos sistemas de numeração de bases 3 e 7, respectivamente. a) Como se procede para descobrir qual desses números é o maior? b) Determine, então, o maior deles.

9) (Uniiei-10) Os números AeB, escritos nas bases 3 e 4 , respeclivamente, são A = 22212(3) e B = 20301(4> . Quanto vale a soma A + B no sistema de numeração decimal?

10) (IME-92) Calcule quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem no sistema de base 7. 11) Represente: a) xn na base x; b) xn – 1 na base x.

12) Faça as conversões de base abaixo: a) (1593)10 = ( )5 b) (439)i0=( )4 c) (2073)io = ( )« d) (325) = ( )io e) (257)x = ( f) (3213). = ( )io g) (354)7 = ( )5 h) (224)5 = ( )3 i) (235)o = ( )7 j) (523)7 = ( ).« k) (243)5 = ( b l) (435)2 s) (I78)m = ( l) (5 1 6 )k = ( )7 u) (l21b = ( )v v) (421b = ( )•* w) (312)ô = ( )•» x) (878b = ( h y) (656)7 = ( )(> z) (543)6 = ( )4

13) (Colégio Naval-13) Os números (35041000)?, (11600)? e (62350000)? estão na base 7. Esses números terminam, respectivamente, com 3. 2 e 4 zeros. Com quantos zeros terminará o número de base decimal n = 212″12, na base 7? a)2012 b)2013 c)2014 d)2015 e)2016

14) (Colégio Naval-10) O número natural 198 está escrito na base 10. Em quantas bases de numeração o número dado é escrito com três algarismos? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 15) (Unimontes-11) No sistema de numeração em base 5. a contagem é feita assim: 1, 2. 3, 4. 10, 11, 12. 13, 14, 20. 21, … O número 69, na base 10, quando descrito em base 5, é um número formado por a) 3 dígitos consecutivos. b) 2 dígitos consecutivos. c) 2 dígitos não consecutivos. d) 3 dígitos não consecutivos

16) (IME-18) Seja x um número numeral N na base xé 1041 e na base binária é: (A) I 00 0 1 1 I 1 (B)1 (C) 1 1 I 00 1 1 I (D) 1 (E) l 1 1 l 0 0 0 I

natural maior que 2. Se a representação de um base x – 1 é 1431, então a sua representação na 1 0 1 1 0 1 1 1 0 I 1 1 1 0

17) (Olimpíada da Austrália-17) O número x é 111 em base b e 212 em base b – 2. Como é x em base 10?

7221

MEDIAS 3.1. MÉDIA ARITMÉTICA Definição: A média aritmética dos números reais a>, az,…. an é dada por M.A. = ^+a-+–+-ar n Por exemplo, a média aritmética dos números 2, 5, 1 e 4 é 2+5+I+4 12 , M .A. =————– = — = 3. 4 4

3.2. MÉDIA PONDERADA Definição: A média ponderada dos números reais ai com peso pi, az com peso pz. a..p. + a,.p, +… + a .p

.11

…, an com peso pn e dada por M.P. = —!—!—- -— ——– 2—Pi+p,+… + pn Por exemplo, a média ponderada dos números 3 com peso 1,4 com peso 2 e I , . . , , . n 3.1 + 4.2 +1.5 16 „ com peso 5 e itzual a M.P. =————— = — = 2. 1+2+5 8 Observe que a média aritmética pode ser interpretada como uma média ponderada onde todos os pesos são iguais. 3.3. MÉDIA GEOMÉTRICA Definição: A média geométrica dos números reais positivos ai, a?,…. an é dada por M.G. = ^a].a2…an .

Por exemplo, a media geométrica dos números 2, 6, 27 e 64 vale: x/2.6.27.64 = x/20736 = 12 3.4. MÉDIA HARMÔNICA Definição: A média harmônica dos números reais não nulos ai, az,an é dada por

M.H. = — n 1 — + —+ a> a2

i +— a„

Por exemplo, A média harmônica dos números 1,2, 2, 3 e 6 é

M.H.= .11111 . * , ,4 = 2. +-+-+-+-

12

2

3

6

2

3.5. MÉDIA QUADRÁTICA Definição: A media quadrática dos números reais ai, az,

M.Q.=

, an é dada por

ai + a; +… + a; n

Por exemplo, a media quadrática dos quatro números 3. 4, 13 c 84: 7225 Í852″ 85 . 32 + 42 +122 + 842 M.Q.= —–= J — — = — = 42,3 ~4

4

V 22

2

3.6. DESIGUALDADE ENTRE AS MÉDIAS Se ai, az,…, an são números reais positivos então M.Q. > M.A. > M.G. > M.H.: Ia; + a2 +… + a2 > a, + aI+…4-a„ / n

V

n

n

>tya,.a2…an >—- j — + — + … +—31

a2

an

A igualdade entre qualquer par dessas médias ocorre apenas se todos os números forem idênticos: ai = az = … = an.

A demonstração desse resultado utiliza recursos muito avançados pro escopo desse livro, que é o ensino fundamental. Utilizando a desigualdade entre as médias se podem desenvolver algumas relações importantes na matemática. Por exemplo, impondo que M.A. > M.G., sendo x e y números reais positivos, segue que: x2 +y2 2 2 > 2xy > > xy

– 4^

De forma análoga, como a média quadrática é maior ou igual que a média aritmética: Ia2 + b2 + c2“ > a + b + c 3(a2 + b2 + c2) > (a + b + c)2 -” > i 3 3 Finalmente, como a média aritmética é maior ou igual que a média harmônica, sendo a, b e c positivos: a+b+c _ 3 > 1 + “ 111 a b cJ 3 – +-+abc Acompanhe os exercícios resolvidos pra entender como a desigualdade entre as medias c aplicada.

+1 1 >9

£xcrcícios

Resolvidos

1) (UEPB-06) A média aritmética das alturas de cinco edifícios c de 85 metros. Se for acrescentado a apenas um dos edifícios mais um andar de 3 melros de altura, a média entre eles passará a ser: a) 85.6 m b) 86 m c) 85,5 m d) 86,6 m e) 86,5 m Solução: Alternativa A

h. + h -> + h, + h i + h«

.

__

.

.

.

-!—— =—– 2—– —— – = 8=> => hi + In + hj + hj + hs = 425 5 (h, + h, + h, + h4+li5) + 3 428 85 6 m 5

5

2) (UEL-07) Dois números têm média aritmética 4.1 e média geométrica 4 . A alternativa correta que apresenta o maior deles é: a) 1 b)4 c)2 d) 8.2 e) 5 Solução: Alternativa E

AH = 4,1 2 x/x.y = 4

=> x + y = 8.2 => y = 8,2-x x(8,2-x)=l6 => 8,2x-x2=l6 =>

x.y = 16

x2-8.2x+16 = 0 (x-3,2)(x-5) = 0 => x = 3,2 e y = 5 ou x = 5ey = 3,2 Assim, o maior dos números é 5.

3) (Colégio Naval-02) Se os números x, y e z são, respectivamente, iguais às médias aritmética, geométrica e harmônica de dois números reais positivos, então: a) xz = 1 b)zx = y c)xz = y2 d)y2+x2 = x2 e) (y + z)2 = x2 Solução: Alternativa C 2 a+b r~r x =—– , • vy == va.b . z = 1 1 ■)

a n

2ab

Portanto: z =——a+b

2y2 2x

+b

x

=> x.z = y2

4) (Colégio Naval-07) O produto de dois números reais x e y é igual a 150. Assim sendo, x + y NÀO pode ser igual a: e) -26,94 a) 31,71 b) 28,27 c) 25,15 d) 24,35 Solução: Alternativa D Sabe-se que a média aritmética de dois números positivos é sempre maior ou igual que a média geométrica destes dois números. Como a enunciado não cita se os números são positivos, deve-se trabalhar com seus módulos.

Desta forma:

liLtlU ;> 7^ = 7115 = |x| + |y|>24,5 =>

x + y < – 24, 5 ou x + y > 24,5 Das alternativas a única que indica um valor fora dos dois intervalos acima é 24.35 5) (EPCAr-01) Uma escola tem 18 professores. Um deles se aposenta e é substituído por um professor de 22 anos. Com isso, a média das idades dos professores diminui de 2 anos. A idade, em anos, do professor que se aposentou é a)52 b)54 c) 56 d)58 Solução: Alternativa D Sejam xi, xi, …, Xix as idades dos professores da escola. Suponha que Xi é a idade do professor que sc aposenta. Assim, pode-se afirmar que:

M = X| + X? +”‘+ xis 18 22 + x, +…+ xls

xi + X2 + … + xix = 18M

22 + I8M-X1 = I8M-36

=> Xi = 58

M-2 =

X2 + … + Xix = I SM – X|

22 + X: + … + xix – 18(M – 2)

6) (Olimpíada Paraense-04) Quatro números pares consecutivos são removidos do conjunto {1, 2. 3 n}. Se a média aritmética dos números restantes é 51.5625, determine o valor de n e quais são os números removidos?

Solução: 515625 _ 825 10000 16 ‘ Assim, denotando por S a soma dos n – 4 números, nós temos que: S 825 . . „ o_, ——- = => 16.S = 825(n – 4). n-4—–16 Desde que 16 e 825 são primos relativos, então 16 | (n – 4) => n = I6k + 4. para algum inteiro positivo k (k não pode ser 0 desde que n deve ser ao menos 8. uma vez que A deve possuir pelo menos 4 números pares). A soma de todos os números em A c n(n 11 + l) , implicando que a media dos seus Notemos inicialmentc que 51.5625 =

2 valores é n * *. Como quatro números são removidos, a

média aritmética deve

alterar, mas não deve alterar rclativamcntc muito. Assim, espera-se que

— seja

próximo de 51,5625, ou seja, n + 1 deve ser próximo de 103.125. Desde que os valores de 16k + 4 próximos de 103.125 são 84. 100 e 116. lemos três candidatos a valores de n para serem testados. i) n = 84: Sejam a – 3, a – I. a + 1 e a + 3 os números retirados.

(l-t-2 i-3 + … + S4)-4a 825 3570-4a = 4125 80 16 4a — 555 => a não c inteiro. ii) n-l 00: Sejam a – 3. a – I. a 4- I e a + 3 os números retirados. Portanto.

= 5050-4a = 4950 = 96 16 4a “ 100 => a = 25 => os quatro números são 22. 24, 26 e 28. iii) n = 116: Sejam a -3, a – l,a + 1 ea + 3 os números retirados. Portanto: Portanto:

(1 + 2 + 3 +… + 116) — 4a 825 < -mc a ————=– =x> 6786 – 4a = o775 => 4a = imi 101 1 =>

112 16 a não é inteiro. Assim, a única possibilidade é n = 100 e os números retirados são 22, 24. 25. e 28.

7) (OBM-I1) Sendo a e b reais tais que 0 < a < 1 e 0 < b < I, o maior valor que ab -—— pode assumir e A)0

C) |

D)1

E) I

Solução: Alternativa D . ab I 2 Observe que —— = é metade da média harmônica de a e b. Como toda a + b o I + -1 a b média, seu valor é máximo quando a e b são máximos, ou seja, iguais a 1. fazendo ab . . . , com que—— seja igual a 1/2. a 4- b

8) (OBM-01) Prove que (a + b)(a + c) > 2jabc(a + b + c) para quaisquer números reais positivos a, b e c. Solução: Note que (a + b)(a + c) = a: – ac + ab = bc = a(a + b + c) + bc Como a média aritmética de números positivos é sempre maior ou igual que a média geométrica: a(a-rb + c) + bc > Ja(a + b + c)bc (a + b)(a + c) > 2-7abc(a + b + c)

/•

£xercícios

propostos 1) (FGV-09) Se a média aritmética entre dois números é 15 e sua média geométrica é 12, então, uma equação cujas duas raízes reais sejam esses dois números é A) 2×2 – 60x + 37 = 0. B)x2-30x+120 = 0. C) x2-30x + 144 = 0. D)x2 + 6x+120 = 0. E)2×2+ I2x-15 = 0.

2) (CM Brasília-05) Os números a. b. c são inteiros positivos tais que a < b < c. Se H “ ci

b é a média aritmética simples entre a e c, então necessariamente a razão —- c-b pode ser igual a A ( ) a/a B ( ) a/b. D ( ) b/c. E ( ) — (b/b). C ( ) a/c. 3) (CM Brasília-05) A média geométrica entre três números inteiros positivos é igual â sua média aritmética. Se o produto entre eles é igual a 729, então a sua soma é igual a C( )27. D ( ) 54. E( ) 81. A() 15. B () 18.

4) (CM Santa Maria-17) O Exército Brasileiro, em 2017. realizou os XI Jogos da Amizade nas instalações da Academia Militar das Agulhas Negras. Trata-se de um evento esportivo e artístico-cultural, com a participação de alunos do Sistema Colégio Militar do Brasil. A delegação do Colégio Militar de Santa Maria (CMSM) sagrou-se campeã na modalidade de handebol masculino. A tabela abaixo mostra a quantidade dc jogadores do time dc handebol do CMSM que possuem a mesma idade. Quantidade de jogadores , Idade(anos) 01 12 02 í 13 _04_________ :________ 14_________ 0_3_________ ‘________ 15 0_2_________ ‘________ 16__________ ___________ X_______ 17_________ __________ 02_______ 18_________ A idade da técnica dc handebol masculino c 30 anos. Considerando a idade de todos os jogadores indicados na tabela acima, e a idade da técnica, sabe-seque a média aritmética ponderada das idades é de 16 anos. Assinale a alternativa que expressa o valor de “X”, o qual indica o número de jogadores que têm dezessete anos, e) 02 b) 03 d) 06 c) 05 a) 04

5) (CM Manaus-09) A média aritmética de um conjunto de 11 números é 45. Se o número 8 que está entre esses onze números for retirado do conjunto, a média aritmética dos números restantes será: a) ( ) 48.7 b)( )48 c)( ) 47.5 d)( ) 42 e)( )4I,5 6) (CM RJ-09) Em um grande lançamento imobiliário, os cinco vendedores de plantão realizaram, numa semana, as seguintes vendas de unidades: Ademar vendeu 71. Bastos 76. Sobral 80. Calvel 82 e Euler 91. Valéria é a diretora do departamento de vendas da empresa e precisa calcular a venda média de unidades realizada por estes cinco profissionais. Curiosamenle observou que. à medida que os valores iam sendo digitados c a média calculada, o programa dc computador adotado gerava para resultados números inteiros. Assim, a última venda digitada por Valéria foi a realizada por: (E) Euler (B) Bastos (C) Ademar (D) Sobral (A) Calvest

7) (Colémo Naval-10) Sejam p e q números reais positivos tais que —+ —= p q . Qual 0 valor mínimo do produto pq? a) 8040 b)4020 c)20!0 d) 1005 e) 105

I

V20ÍÕ

8) (Colégio Naval-17) Sejam x e y números reais tais que xy = 2\/3. Sendo assim,

o valor mínimo de xx + ys é a) múltiplo de 18. b) um número primo. d) divisível por 13. c) par maior que 300.

c) divisível por 5.

9) (CM BH-15) Durante a aplicação dc uma avaliação parcial dc Matemática, em uma turma do Io ano do ensino médio do CMBH. constatou-se que 2 alunos haviam faltado, e que a média obtida pelos 28 alunos restantes, na Ia chamada da avaliação, foi igual a 6.8. Ao realizarem a 2a chamada da avaliação, as notas obtidas pelos 2 alunos que faltaram, elevaram a média inicial da turma em 0.1 ponto. Sabendo-se que a diferença entre as notas que cada um dos dois alunos obteve é igual a 3.0, pode-se concluir que: a) a menor nota obtida na 2a chamada foi inferior a 6,0. b) a média das notas obtidas pelos dois alunos é inferior a 8.0. c) a maior nota obtida na 2a chamada foi superior a 9.5. d) a maior nota obtida não foi superior a 9.

e) a média obtida na 2a chamada pelos dois alunos foi igual a 6.9. 10) (UFU-10) Um lime de voleibol possui um plantei formado por jovens atletas, contendo x pessoas cuja média aritmética das idades c dc 20 anos. O presidente do lime resolveu contratar um técnico e um preparador físico experientes.

Lj

I

I

—— ——————————— —

• —–

___ -j.____ ……

——— ‘.7’*^*’ ■

_________ .—s______ -2

coincidentemente. ambos com 5ü anos. Sabendo que, com a entrada destas duas novas pessoas no plantei, a nova média das idades passou para 24 anos, pode-se afirmar que D) x < 9 A) 10 16 11) (Uncmat-09) As notas do boletim dc um aluno em determinada escola sào representadas na tabela a seguir: Matérias

Português Matemática física__ Química História

Etapa 1 6 4 4

8 10

Notas Etapa 2 8 7 8 7 8

Etapa 3 : 9 I 5 I 9 1 ….. 6 1

__9_J

As notas desse boletim podem ser representadas por uma matriz cujas linhas sào as matérias e as colunas, as três etapas do curso. Nessa escola, a média das notas é ponderada e os pesos sào 1 para Etapa 1, 2 para Etapa 2 c 3 para Etapa 3. Qual é a média ponderada da disciplina de Matemática ao final das três etapas do curso?

12) (IME-13) Considere as inequações abaixo: I) a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca II) a3 + b’ > a2b + ab2 III) (a2 – b2)2 > (a – b)4 Esta(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a, b e c. a(a) inequação(ões) a) II apenas. b) I e II apenas, c) I e III apenas. d) II e 111 apenas, e) 1, II c 111. 13) (Colégio Naval-16) Para obter o resultado de uma prova de três questões, usase a média ponderada entre as pontuações obtidas em cada questão. As duas primeiras questões têm peso 3,5 e a 3a, peso 3. Um aluno que realizou essa avaliação estimou que: I – sua nota na Ia questão está estimada no intervalo fechado de 2,3 a 3.1: e II – sua nota na 3a questão foi 7. Esse aluno quer atingir média igual a 5.6. A diferença da maior e da menor nota que ele pode ter obtido na 2a questão de modo a atingir o seu objetivo de média é a) 0,6 b) 0.7 c) 0,8 d) 0.9 e) 1

14) (Unesp-09) Durante o ano letivo, uni professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova. Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7.3. calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi:

PROVA NOTA PESO

A) 9.0.

B) 8.5.

C) 8.3.

/

1

II 7,3 2 D) 8,0.

III

IV

LI

3 T E) 7,5.

V

6,2 2

15) (ESSA-12) A média aritmética de todos os candidatos de um concurso foi 9.0, dos candidatos selecionados foi 9,8 e dos eliminados foi 7.8. Qual o percentual de candidatos selecionados? A) 20% B)25% 0 30% D) 50% E) 60%

16) (Colégio Naval-78) A soma da média aritmética coma média geométrica das raizes da equação ax3 -8x + a’ = 0 dá : 4-a3 -4 + a3 4 + a3 8 + a” (A) (B) (C) (D) (E) 5 a a a a 17) (Colégio Naval-07) O produto de dois números reais xeyé igual a 150. Assim sendo, x + y NÃO pode ser igual a: a) 31.71 ’b) 28.27 c) 25,15 d) 24,35 e) -26,94 18) (Colégio Naval-86) Sabendo que a media aritmética e a média harmônica entre 3?

dois números naturais valem, respectivamente, 10 e -y-, pode-se dizer que a media geométrica entre esses números será igual a: (A) 3,6 (B)6 (C) 6,4

(D) 8

(E)9

19) (Colégio Naval-90) No Colégio Naval, a turma do Io ano é distribuída em 5 salas. Num teste de Álgebra, as médias aritméticas das notas dos alunos, por sala, foram respectivamente: 5.5: 5.2: 6.3: 7,1 e 5,9. A média aritmética das notas da turma é: (A) 5.9 (B)6.0 (C)6.15 (D) 6.5 (E) impossível de ser calculada com esses dados

x.y 20) (Colégio Naval-95) Sejam M = ——. onde x e y são reais positivos, logo M é: x+y (A) o quociente entre a média geométrica e a média aritmética de x e y (B) a metade do quociente entre a média geométrica e a media aritmética de x e y. (C) a média aritmética dos inversos de x e y. (D) a média harmônica de x e y. (E) a metade da média harmônica de x c y.

J

21) (Colégio Naval-82) Se h, g e a são, respectivamente, as médias; harmônica, geométrica e aritmética entre dois números, então: e) ah = 2y/g a) ah = 2g b)ah = g c) ah = 2g2 d) ah = g2 22) (Colégio Naval-0l) Um aluno calculou a média aritmética entre os cem primeiros números inteiros positivos, encontrando 50^. Retirando um desses 27 números, encontrou como nova media aritmética 50— . O número retirado está 99 entre: E)70 e XO A) 30 c 40 C)50e60 D) 60 c 70 B) 40 c 50

23) (Colégio Naval-02) A soma de dois números reais distintos é igual ao produto desses números. O menor valor natural desse produto é igual a: a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

24) (Colégio Naval-07) Com a finalidade de se pesquisar a renda média em reais M da sua população, uma determinada região S foi dividida cm quatro setores: X. Y. Z e W, com, respectivamente. 2.550, 3.500, 3.750 e 4.200 pessoas. Observou-se. então, que a renda média em reais de X é de 800.00, a de Y é de 650.00. a de Z. é de 500,00 e a de W é de 450,00. Logo a) 605.00 < M < 615,00 b) 595,00 < M 2″, se ai.a2….an = 1. m > 0.

12.6 km

10′ cm

I .x = 12.6.10′ => x = 1.260.000 cm

x cm

2) Converter 25 metros em polegadas. I pol

—— >

0.0254 m

x pol

—— >

25 m

■*

1.25 = x.0.0254

i .

I

x = 984.25 pol

4.2. ÁREA A unidade de área do sistema internacional dc unidades c o metro quadrado, simbolizado por m2. Um melro quadrado c equivalente a um quadrado dc lado igual a um metro. Analogamente ao caso do metro. também existem múltiplos de submúltiplos do metro quadrado: Múltiplo ou submúltiplo Milímetro quadrado Centímetro quadrado Decímetro quadrado Metro quadrado Decâmetro quadrado ou are Hectômetro quadrado ou hectare Quilômetro quadrado

Símbolo (mm2) (cm2) (dm2) (nr) (dam2 ou a) (hm2 ou ha) (km2)

Valor I0″6m2 10″4 m2 10″2m2 1 m2 102 m2 104 nr 106nr

Algumas unidades de área, que não pertencem ao SI, ainda são utilizadas. Um exemplo é o alqueire, que equivale a 24200 m2. 4.3. VOLUME A unidade de volume no sistema internacional de unidades é o metro cúbico, cujo símbolo é m3. Um metro cúbico é igual ao volume de um cubo de I melro de aresta. O metro cúbico também possui múltiplos de submúltiplos:

Múltiplo ou submúltiplo Milímetro cúbico Centímetro cúbico Decímetro cúbico Metro cúbico Decâmetro cúbico Hectômetro cúbico Quilômetro cúbico

Símbolo (mm3) (cm3) (dm3) (m3) (dam3) (hm3) (km3)

Valor IO”9m3 10-f’m3 10“3 m3 l m’

103 m3 106 m3 109 m3

No caso do volume ocorre um falo único, não existente em outras grandezas: uma outra unidade, que não pertence ao SI, é mais utilizada que o metro cúbico, O litro, que é igual a 10”3 m3, devido à sua imensa aplicação comercial, acaba por ser mais popular que o melro cúbico. Desde embalagens de produtos líquidos (água, refrigerante, leite, óleo, etc), até a medida da capacidade de recipientes (volume do tanque de combustível, volume de uma mala, volume de piscina, etc), a utilização do litro e do seu principal submúltiplo, o ml (mililitro, igual a 10-3 litros ou 10‘6 metros cúbicos), já está enraizada no cotidiano. O símbolo do litro é (. e possui os

mesmos múltiplos (mili, centi, deci) e submúltiplos (deca, hecto e quilo) das unidades do SI.

Outras unidades de volume ainda são utilizadas, principalmente nos países de língua inglesa:

I ri

[

Unidade barril de petróleo galão americano galão inglês pé cúbico polegada cúbida

Símbolo gal

gal ft3 in3

i Valor (unidades SI) i 0,159 m3 I 3,785.10~3 m3 I 4,545963.1Q-3m3 0,028317 m3 0,00001639 m3

4.4. ÂNGULO

4.4.1. Radianos No sistema internacional de unidades o ângulo é medido em radianos, que é definido como o arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. Assim, para medir quanto mede um determinado ângulo em radianos basta calcular a razão entre o comprimento do arco c o raio da circunferência. Por exemplo, cm uma circunferência de raio igual a 5 metros, o valor do ângulo definido por um arco AB de comprimento igual a 12 , ÃB 12 netros e igual a -— = — = 2,4 radianos. R 5 Sabe-se que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é constante e é igual a um número irracional denominado n (letra grega pi). O número n, apesar de ser um número irracional, pode ser razoavelmente aproximado a 3.1416. Logo, a medida do ângulo definido por uma volta completa 2tiR na circunferência vale—— = 27t radianos. R

4.4.2. Graus Outra unidade bastante utilizada na medida de ângulos é o grau. Um grau é definido com o arco de circunferência cujo comprimento é igual à

da

circunferência. Deste modo, uma volta completa na circunferência equivale a 360 graus. O símbolo de grau é ou seja, 35 graus pode ser representado por 35°. As subunidades dos graus são os minutos (simbolizado por ’) e segundos (simbolizado por ”), onde 1° = 60’ e I’ = 60”. Por exemplo, a medida de um determinado ângulo pode ser dada por Io 23’ 17”, onde lê-se 1 grau 23 minutos e 17 segundos. Observe que o valor máximo que pode assumir os minutos de um ângulo é 59, bem como o valor máximo que pode assumir os segundos de um ângulo é também 59. Assim, se for informado um determinado valor de minuto ou

< ‘?’ Z Z ’Z7 ZZ’ segundo superior a 59 então deve-se fazer a conversão para a unidade ou subunidade acima. Observe os exemplos abaixo: 1) Suponha que seja informado que um ângulo vale 134′. Dividindo por 60: 134 = 2.60 + 14. Assim, tem-se que 134’ = 2° 14’.

2) Para escrever corretamente 5671” deve-se notar que 5671 = 60.94 + 31, ou seja, 5671”= 94’ 31”. Analogamente, como 94 = 1.60 + 34, então tem-se que 5671 ” = 10 34′ 31”

Em algumas oportunidades, os ângulos são dados em valores decimais de graus. A conversão de uma unidade para sua subunidade é feita multiplicando por 60 o valor decimal, lembrando que 1 ° = 60’ e I’ = 60”. Exemplos:

I) Para converter 50,15” em suas subunidades basta fazer 50,15° = 50° + 0.15° = = 50° + 60.0.15’ = 50° 9′

2) Em alguns casos c necessário converter ate em segundos: 24.7825° = 24° + 0,7825° = 24° + 60.0,7825′ = 24° +~46.95′ = 24° + 46’ + 0.95′ = = 24° + 46′ + 60.0.95” = 24° + 46′ + 57” = 24° 45′ 57″

4.4.3. Convertendo unidades Para converter de radianos para graus ou de graus para radianos basta resolver uma regra de três bastante simples: 2 TC 360°

medida em

->

radianos

2n 71

3

2n x

medida em graus

Por exemplo, para converter 7i/3 radianos cm graus tcm-sc: —– > 360° , x = 60° 2X-x = —.360° 3 -> x

Para converter 135° em radianos: —– > 360° => 2tc.135° = x.360° => —– > 135°

A

5tc x = — radianos 4

_ 24 j) y2 -v3 y.. Outra maneira de escrever esta proporção múltipla é: xi : yi = x2 : y2 = xj : yj = … = x„ : y„.

5.2.2.1. Propriedades

x 1) Se — = -^- = —= . = — então: yn yi y2 y3 = 24 = = = x- = ±x2 íxj ±…±xn y( y2 y3 yn ±y1±y2±y3±…±yI1 Demonstração: x . X, x, x3 x,i – k.y„. Se|a — = — = — = = — = k, assim temos que xi = k.yi, x2 = k.y2, >’n >j y; y3 Logo: ±X|±x,±x3±…±x„ = ±k.yl±k.y2±k.y,±…±k.yn k(±y, ±y2 ±y. ±…±y„) = k

±y1±y2±y3±…±y„ ±y, ±y, ±y-±…±y„ ±y, ±y2 ±y. ±…±y„ É importante ressaltar que a escolha dos sinais é livre, porém deve satisfazer duas condições:

i) ± yi ± y2 ± y3 ± … ± yn * 0 ii) para cada índice i, o sinal dc de x, c de yi deve ser o mesmo

2) Se 1± = 1ã = 11 y. Yz y3

= — então: >’n

_ Xn _ —a( .X! í — = 50=. n = 750 15 15 15 Desta forma, as quantidades de laranjas na segunda parte do trajeto são:

j, = 1Z^2 = 3oo, c, = 222£=3oo c p,= — = |50 5

5

‘5

5) (Olimpíada do Pará-04) Três pessoas, Abel, Benito e Ceferino, entretêm-se jogando poker. Antes do jogo, as quantidades de dinheiro que possuíam Abel, Benito e Ceferino estavam na relação 7:6:5. respectivamente, e ao finalizar o jogo as quantidades de dinheiro de cada um ficaram na relação 6:5:4, respectivamente. Se um dos jogadores ganhou R$ 12 no jogo, determine quanto dinheiro cada um tinha ao começar o jogo. Solução: Seja x a quantidade total de dinheiro. Como a relação inicial de dinheiro é 7:6:5 as 7x 6x 5x quantidades são: x < = —, xn = — e xr = —. A 18 18 18 Se 6:5:4 é a relação final, então, ao terminar o jogo cada um tem: , 6x , 5x , 4x x — —, x n — — e X (–A 15 15 C 15 Como ~ < 2_ então Abel ganhou dinheiro com o jogo. Como — = — então Benito não ganhou e nem perdeu dinheiro com o jogo. 5 4 Como — > — então Ceferino perdeu dinheiro com o jogo.

Assim, foi Abel quem ganhou R$ 12 reais com o jogo: — = 12 => — = 12 => x=1080. 1518 90 Desta forma, no início do jogo cada um tinha:

7.1080 6.1080 5.1080 x. =—- = 420, xR =—- = 360 e xr =—- = 300. 18 18 18

-•

5.2.4. Divisão em partes inversamente proporcionais 5.2.4.1. Definição: Dividir um número real x em n partes inversamente proporcionais aos números reais aj, a:, …, a» é equivalente a dividir x em n partes diretamente proporcionais aos números —, —,…, —, ou seja, deve-se determinar a2

os números xi, X2,.

an

xn de modo que: X, + x2 + .. ’

xl

I/a,

_

X2

1 / a2

l/an

Aplicando propriedade de proporção os números xi, X2, …, xn podem ser facilmente obtidos: _________ x_________ x,4-x2+… + xn xi = x2 Xn 1 / a2 1/a n 1 /a, +1 /a2 +…+1 /an 1/a, + l/a, + … + l/an 1 / 3| (l/a,)x x 0/ai)x 1 1/a, +1/a2+…+1/a n”2 1/a, + 1/a,+… + 1 Zan ’ Xn

(l/an)x 1/a, + 1 /a2 +…+ 1 Zan

Por exemplo, dividir o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais aos números 2, 4 e 6: A B C A-r B-rC y^ = 240 => A= 120, B = 60 e C = 40 1/2 ~ 1/4 ~ l/6~ 1/2 + 1/4 + 1/6 Í2 £xercícios Resolvidos

1) (Colégio Naval-07) O litro do combustível X custa RS 2,00 e do combustível Y, RS 3.00. O tanque do veículo V, que se move indiferentemente com os combustíveis X e Y, tem capacidade total dc 54 litros. O veículo V, quando abastecido unicamente com o combustível X, tem rendimento de 15 quilômetros por litro c. quando abastecido unicamente com o combustível Y. tem rendimento dc 18 quilômetros por litro. Quantos reais gastará o proprietário de V. caso resolva abastecer completamente o seu tanque com uma mistura desses combustíveis, de forma que. numericamente, os volumes correspondentes de X e Y sejam, simultaneamente, diretamenle proporcionais aos rendimentos e inversamente proporcionais aos custos de cada um deles? a) 131.00 b) 132,00 c) 133.00 d) 134,00 e) 135,00 Solução: Alternativa B

tíU— —

x = 500

2) Um carro vai da cidade A para a cidade B com uma velocidade constante de 60 km/h, percorrendo a distância em 2 horas. Quantas horas levará o carro para ir de A até B com uma velocidade média de 40 km/h. Solução: velocidade (km/h) tempo (h) 2 60 40 x Observe que aumentando a velocidade do carro (flecha para cima) o tempo de percurso diminui (flecha para baixo), ou seja, velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Logo, deve-se inverter, em relação de como foram escritas na tabela, uma das razões para montar a proporção: 2 40 — x=3 h X 60

3) (F.SA-93) Dez pessoas realizam um trabalho em 15 dias. Seis pessoas fariam o mesmo trabalho em: a) 9 dias b) 10 dias c) 15 dias d) 20 dias e) 25 dias Solução: n° dc pessoas tempo (dias) 10 15 6 x

K .j’

Neste caso fica evidenciado que aumentando o número de pessoas (flecha para cima) o tempo para realizar o trabalho diminui (flecha para baixo), ou seja, número de trabalhadores e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Logo, deve-se inverter, em relação de como foram escritas na tabela, uma das razões para montar a proporção: ]0 _ L5 1 Ox = 90 => x = 9 dias

6 “T

4) (ENEM-10) Em abril de 2009, o observatório espacial americano Svrift captou um feixe de raios gama proveniente de uma explosão no espaço. Cientistas italianos e ingleses apresentaram conclusões de que as luzes captadas provêm do colapso de uma estrela ocorrido há 13 bilhões de anos, apenas 630 milhões de anos após o Big Bang, expansão súbita que originou o Universo. Batizada de GRB 090423, a estrela é o objeto celeste mais antigo já observado pelo homem. Revista Veja 4 nov. 2009 (adaptado).

Suponha uma escala de 0 h a 24 h e considere que o Big Bang ocorreu exatamente à 0 h. Desse modo, a explosão da estrela GR.B 090423 leria ocorrido à(s) a) 1,10 h. b)l,!6h. c)l,22h. d) 1,84 h. e)2,01h.

Solução: Alternativa A E possível resolver esta questão aplicando regra de 3 simples. O tempo decorrido após o Big Bang e o tempo decorrido numa escala de 0 a 24h são grandezas diretamente proporcionais. Pela regra das flechas: tempo após o Big Bang tempo numa escala de 24 h (cm milhões de anos) (em h) 13 630 24 630 t 13630 24 _ 24,630 Assim: t= 1,10 h 630 t 13630

5.4. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 5.4.1. Análise algébrica Do exposto sobre regra de três simples pode-se resolver uma série de problemas em que duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Mas agora você deve estar se perguntando como é que se faz quando o problema apresentar mais de duas grandezas envolvidas? De início é interessante destacar a dependência entre as grandezas quando a quantidade destas não permite aplicar simplesmente a regra dc três simples. Por exemplo, tomemos a conhecida equação de Clayperon PV = nRT, onde P é a pressão do gás. V seu volume, n seu número de mois, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta (medida em Kelvins). Nesta equação, mantendo-se constantes os valores de V e n, aumentandose a pressão de P para kP a temperatura absoluta aumentará de T para kT. Isto implica que pressão e temperatura absoluta de um gás são grandezas diretamente proporcionais. Por outro lado, mantendo-se constantes n e T, ao variar-se a pressão de P para kP, 0 volume passará de V para V/k, ou seja, pressão e volume são inversamente proporcionais. E claro que de posse da equação que relaciona as variáveis do problema a determinação de algum dos valores desconhecidos é simples. Mas, e quando a equação não é fornecida? A resposta é simples, é preciso determiná-la. Por exemplo, tome o seguinte problema: uma pessoa, digitando 60 toques por minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza certo trabalho em 10 dias. Quantos dias levará outra pessoa para realizar o mesmo trabalho se ela digita 50 toques por minuto e trabalha 4 horas por dia? Na resolução deste problema considere as seguintes variáveis: Tc o número dc toques por minuto. H c o número dc horas trabalhadas por dia e D é a quantidade de dias de trabalho. Note que o número de toques feitos em um dia é igual a 60TH. Assim, se N é o número total de toques necessários para fazer todo o trabalho, pode-se afirmar que N = 60THD. Logo. T é inversamente proporcional a II. T é inversamente proporcional a D e II é inversamente proporcional a D. Como o tamanho do trabalho é 0 mesmo, pode-se igualar as seguintes expressões:

6OT1II1O1 = 6OT2II2D:

60.6.10 = 50.4.02 => D: =18 dias

Neste ponto é interessante destacar um erro comum que é a aplicação da seguinte regra: duas grandezas são diretamente proporcionais se. mantendo-se constantes as outras variáveis envolvidas, o aumento de uma delas provoca aumento na outra e são inversamente proporcionais se o aumento de uma delas provoca a diminuição da outra. Perceba que para ficar configurada a proporção (direta ou indireta) é necessário que as variações percentuais das duas grandezas devem ser as mesmas (no caso de proporção direta) ou a variação percentual de uma grandeza deve ser o inverso da variação percentual da outra grandeza (no caso ‘

1

______ ________ ’ v de proporção indireta). Por exemplo, na equação de Clayperon, mantendo-se constantes os valores de pressão e número de mois, ao passarmos o volume de V para 3V, a temperatura absoluta passará de T para 3T. Se o volume passar de V para 9V, a temperatura passará de T para 9T e assim por diante. Assim, volume e temperatura de um gás são grandezas diretamente proporcionais. Por outro lado, na conhecida fórmula, atribuída a Isaac Newton, da atração entre dois corpos de x. > I- – • 1 r GMm , GMm . ~ , r massas M e m separados por uma distancia d: F = ——— (onde G e a constante d2 gravitacional universal) pode-se observar que para uma variação de d para k.d a Corça passa de F para F/k2. E claro que o aumento da distância provocou a diminuição da força, mas não pode-se afirmar que F e distância são inversamente proporcionais. Na verdade, força e o quadrado da distância é que são inversamente proporcionais, uma vez que um aumento do quadrado da distância de d2 para k.d2 implica em uma diminuição da força de F para F/d.

5.4.2. Regra das flechas A regra das flechas aplicada à regra de três de composta é bastante emclhanle ao caso da regra de três simples. Porém, como o número de grandezas gora é maior, deve-se ter um maior cuidado na análise do tipo de proporcionalidade (direta ou indireta) envolvida entre as grandezas. A tabela que c montada no caso da regra de três simples também é montada no caso da regra de três composta, com os valores de mesma grandeza na mesma coluna e os valores de mesma situação em cada linha. A análise deve ser feita tomando-se como base a variável que possui um valor desconhecido (que será chamada de variável X) e analisando como uma alteração dc seu valor implica na alteração do valor de cada uma das outras variáveis, mantendo-se constantes as demais grandezas. Se um aumento do valor de X provoca um aumento de outra variável A (mantendo constantes as outras grandezas), a flecha de A deve ficar no mesmo sentido que o de X. Por outro lado, se um aumento de X provoca uma diminuição de outra variável B (mantendo constantes as outras grandezas), a flecha de B deve ficar em sentido contrário ao de X. Após esta análise, a equação da proporção envolvendo todas as grandezas é baseada em duas propriedades da proporção: i) se uma grandeza é diretamente proporcional a outras duas, então é proporcional ao produto destas duas grandezas; ii) se uma grandeza é inversamente proporcional a outra grandeza, então é diretamente proporcional ao inverso desta.

——————– .——- ■-

w- –

-T

J

Assim, a equação que relaciona todas as razões é montada colocando-se no membro esquerdo da igualdade a razão que envolve a grandeza que possui um valor desconhecido e no membro direito a multiplicação das demais razões, mantendo-se o sentido da razão da grandeza que for diretamente proporcional à grandeza desconhecida e invertendo-se (elevando a – I) a razão da grandeza que for inversamente proporcional à grandeza desconhecida. Por exemplo, se na análise da um problema que abranja quatro grandezas, digamos x, y. z e w, a grandeza que possui um valor desconhecido é x (geralmente 0 valor desconhecido é na segunda situação) c conclua-sc que a grandeza x é diretamente proporcional às grandezas y e z e inversamente proporcional à grandeza w, em relação aos valores destas grandezas medidos nas situações I e 2 tem-se a seguinte tabela: yA y>

z“

w

Xi

Z|

W|

X’

y:

Z2

W2

X

Logo, a equação que relaciona as grandezas x, y, z e w é dada por:

=

x,

izL y, z, wt

De posse desta equação o valor de X2 é facilmente determinado; x1.y,.z-,.vvl X2

y^Zi.w,

£xercícios Resolvidos 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160nr’ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: Vamos começar analisando as relações que existem entre as grandezas envolvidas. Quando aumentamos o número de caminhões o tempo requerido para o descarregainento diminui, ou seja, número de caminhões e tempo são inversamenle proporcionais. Por outro lado, quando aumentamos 0 número de caminhões também aumentamos a capacidade de areia que pode ser descarregada. Assim, número de caminhões e volume de areia são grandezas diretamente proporcionais. Assim, podemos montar a seguinte tabela. tempo (h)’ caminhões volume (nr’) 8 160 20 x 125

.Agora basta igualar a razão que envolve a grandeza desconhecida com o produto das outras razões, seguindo o sentido de cada llecha (se a flecha concordar com o sentido da llecha da variável mantêm-se a proporção, caso contrário in\erte-se a proporção). 20 160 5 x = 25 caminhões 125’8

2) (EPCAr-02) Uma fábrica recebeu uma encomenda de 50 aviões. A fábrica montou os aviões em 5 dias, utilizando 6 robôs de mesmo rendimento, que trabalharam 8 horas por dia. Uma nova encomenda foi feita, desta vez 60 aviões. Nessa ocasião, um dos robôs não participou da montagem. Para atender o cliente, a fábrica trabalhou 12 horas por dia. O número de dias necessários para que a fábrica entregasse as duas encomendas foi a) exatamente 10 b) mais de 10 c) entre 9 e 10 d) menos de 9 Solução: Alternativa C Desde que o aumento do número de dias provoca um aumento de aviões fabricados, conclui-se que dias c aviões são diretamente proporcionais. Por outro lado, aumentando o número de dias de trabalho, serão necessárias menos horas de trabalho, ou seja, dias e horas de trabalho são inversamente proporcionais. Finalmente, aumentando o do número de dias, mantendo constante o número de aviões fabricados, provoca uma diminuição do número de robôs. Assim, analisando a dependência entre as grandezas, tem-se a seguinte tabela: aviões 50 60

dias 5 x

robôs 6 ▼

horas (h)< 8 12

50 5 12 x = 4.8 dias 60 6 8 Como a 1 encomenda será entregue em 5 dias e a 2a em 4.8 dias, as duas encomendas serão entregue cm 9,8 dias, ou seja, a alternativa correta c letra C. Assim:

5 x

3) (Colégio Naval-96) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano. durante K dias no mês e durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dias, em W dias e W meses do ano será: K3 , W5 W x K4 e) —ra) —b) —r C)^ d ) — r K WK K Solução: Alternativa E Analisando as proporções sobre as grandezas conclui-se que: – quanto mais abelhas mais mel é produzido: diretamente proporcionais

L__a

~

;

– se aumentarmos os meses de produção o mel também aumentará: diretamenle proporcionais – um aumento no número dias também aumenta a produção de mel: diretamenle proporcionais – mais horas trabalhadas fazem com que mais mel seja produzido: diretamente proporcionais Montando a tabela: abelhas meses dias. horas, horas K ■ K K K K W ▼ W ’ X T W l W Assim:

K K

x

K

K

W’W‘W’W

w4

x =—K

4) (EPCAr-01) Se gato e meio comem rato e meio em um minuto e meio, quantos galos comem 60 ralos em 30 minutos? a) 3 b)4 c) 3,5 d) 4.5 Solução: Alternativa A Pode-se observar que: – se aumentarmos o número de ratos serão necessários mais gatos para comê-los no mesmo tempo, ou seja, galos c ralos são diretamenle proporcionais. – aumentando o tempo tem-se que diminuir o número de galos para comer a mesma quantidade de ralos, fazendo com que gatos e lempo sejam inversamente proporcionais. Monta-se, assim, a seguinte tabela: ratos gatos(h) minutos 1,5 1,5 1,5 x 60 ’ 30 1,5 1,5 30 Portanto: x = 3 gatos x 601,5 5) Se 6 digitadores, em 18 dias de 8 horas, preparam 720 páginas de 30 linhas, com 40 letras por linha, em quantos dias de 7 horas. 8 digitadores comporão 800 página, dc 28 linhas por página e 45 letras por linha? Solução: Observando as proporções de cada par de grandezas: – aumentando o número de dias, para o mesmo tamanho do trabalho, serão necessários menos digitadores. ou seja, dias e digitadores são inversamente proporcionais. – quantos mais dias de trabalho, menos horas por dia serão usadas: inversamente proporcionais

– mais dias de trabalho implicam cm mais páginas digitadas: diretamente proporcionais. – analogamente, mais dias fazem com que mais linhas sejam digitadas: diretamente proporcionais. – finalmente. aumentando o número de dias mais letras serão digitadas: diretamente proporcionais. Pela tabela tem-se que. horas A pátiinas, linhas . letras digitadores* dias 720 I 40 30 18 6 8 7 1 800 v 28 * 45 ” 8 1 x Algehrizando obtém-se: ! s” 8 7 720 30 40 x – 18 dias 6’8 800’28 45 x 6) (ENEM-09) Unia escola lançou unia campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa c nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados. 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de c) 570 kg. a) 920 kg. b) 800 kg. c) 720 kg. d) 600 kg. Solução: Alternativa A Claramcnte se trata de uma clássica questão de regra de 3. que vai resolvida pela regra das flechas. Número de alunos e horas de trabalho por dia são grandezas inversamente proporcionais. Por outro lado, número de alunos e quilos de alimentos arrecadados por dia são grandezas diretamente proporcionais. horas por dia quilos por dia alunos 20 12 3 4 50 x . 20 4 12 Assim: — = —x —

x = 40 kg por dia 50 3 x Se durante os primeiros 10 dias são arrecadados 12 quilos por diai e nos 20 dias finais são arrecadados 40 kg por dia, no total são arrecadados 10×112 + 20 x 40 = 120+ 800 = 920 kg.

I I 1

5.5. PORCENTAGEM Atualmente é muito comum, principalmente nos meios de comunicação, a utilização de expressões que representam aumentos ou reduções para 100 unidades da grandeza analisada. Por exemplo, a expressão “o salário foi aumentado em 10%” (lê-se dez por cento) significa que para cada RS 100.00 de salário, foi dado um aumento de RS 10,00. Do mesmo modo, quando afirma-se que 90% (lê-se noventa por cento) dos alunos da tunna tiraram nota alta, quer-se dizer que. para cada 100 alunos da sala. 90 deles tiraram nota alta. Do exposto anleriormenle. já é possível escrever uma definição mais criteriosa sobre o que é porcentagem.

5.5.1. Definição: Porcentagem é uma medida de quantidade com base em 100 unidades da grandeza analisada. Perceba que porcentagem é uma medida relativa ao total da grandeza. Desta maneira, sempre que é citado um valor de porcentagem, deve ficar bem claro sobre qual grandeza incide a porcentagem citada. A simples afirmação “João possui 40%” perde sentido se não for indicado sobre o quê João tem 40%. Pode ser que João possua 40% dos doces de uma casa, pode ser que João possua 40% dos votos em uma eleição para prefeitura ou então que João possua 40% do dinheiro repartido em uma herança. 5.5.2. Razão centesimal Toda razão que tem como denominador II 51 329 centesimal. Por exemplo, —– , —— e —-100 100 100 representar uma razão centesimal na forma de 19 = 0,19 = 19% (lê-se “dezenove por

545

o número 100 é denominada dc razão . . são razões centesimais. E possível

porcentagem: cento’ )

= 5,45 = 545% (lê-se “quinhentos e quarenta e cinco por cento”)

As expressões 19% e 545% são denominadas de taxas percentuais. X

Generalizando, razão centesimal é toda fração da forma ——. Louo. toda

100

porcentagem pode ser escrita da forma x% =

x

‘ ■ ■

17:777’

5.5.3. Cálculo dc porcentagem Para a determinação do valor correspondente à porcentagem de uma grandeza basta fazer a multiplicação da razão centesimal associada à porcentagem pela quantidade total da grandeza. Por exemplo, para calcular 15% de 600 kg de ferro. 15

ixi

.

basta fazer: -j-^.600 kg = 90 kg. Generalizando, para calcular x% de um valor M. basta calculai o valor da multiplicação

£xercícios

x

,M .

Resolvidos

1) (Colégio Naval-99) Tem-se 500 ml dc soro glicosado a 5%. Quando sc acrescentam 10 (dez) ampolas de 10 ml cada de glicose a 23%, a concentração do volume final do soro glicosado será: a) 6.0% b) 6.3% c) 7.0% d) 7,3% e) 8.0% Solução: Alternativa E O total de glicose inicialmente no soro é igual a 5% de 500 ml: x -— 500= 25 ml 100 Como são acrescentados 100 ml de soro a 23% de glicose, o total de glicose adicionado vale:

v = —.100 = 23 ml ‘ 100 Uma vez que o soro final possui 600 ml, a porcentagem de glicose é: ■>s +

,

—— — .100 = 8% 600 2) (Colégio Naval-05) Uma máquina é capaz de fabricar, ligada durante um tempo inteiro dc minutos T. 3′ peças, sendo que 20% delas são defeituosas. Para obter-se. no mínimo. 605 peças perfeitas essa máquina deverá funcionar quantos minutos? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Solução: Alternativa D Se 20% das peças fabricadas são defeituosas então 80% são perfeitas. Assim: 0,80.3‘> 605 => 3‘ > 756,25 Note que 3‘ = 3. 32 = 9, 35 = 27, 3′ = 81,35 = 243. 36 = 729, 37 = 2187 Desta forma, o menor inteiro T tal que 3 1 > 756,25 cT = 7 minutos 3) (EPCAr-01) Uma prova com 180 questões diferentes foi distribuída a 3 estudantes. A. B e C. de modo que cada estudante recebeu um bloco com 60 questões distintas. A apresentou 90% de acertos nas suas respostas; B respondeu

I

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

correiamente a 70% do seu bloco e C errou 80% de suas questões. Desta forma, o número de questões não resolvidas da prova é de (não resolvidas são as questões que os estudantes não acertaram). a) 78 b) 72 c)68 d) 80 Solução: Alternativa B Pelo enunciado pode-se concluir que A errou 10% das suas questões. B errou 30% e C errou 80%. Como cada um recebeu 60 questões, o número total de questões erradas é: N = 0,10.60 + 0.30.60 + 0.80.60 = 6 t 18 48 = 72

4) (OBM-99) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% sào vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada verificou-se que no aquário, 75% dos peixes vivos eram amarelos. Aproximadamente, que porcentagem dos peixes amarelos morreram? A) 15% B) 37% C)50% D) 67% E) 84% Solução: Alternativa D Se a quantidade inicial de peixes amarelos é x e a quantidade inicial de peixes vermelhos é y: x = 0.90(x + y) => x = 0.90x + 0.90y => 0.10x = 0.90y => x = 9y Suponha que depois da doença a quantidade de peixes amarelos no aquário seja igual a x’. Pelo enunciado, depois da doença 75% dos peixes eram amarelos: x’= 0,75(x’+ y) => x’ = 0.75x’+ 0.75y => 0,25x’= 0,75y => x’ = 3y Assim, o percentual de peixes amarelos que morreram c igual a:

2L12L | oo% = -y~jy 100% = -100% = 67% x

9y

9

5) (IME-86) Uma padaria trabalha com 4 tipos de farinha cujos teores de impureza são os seguintes: Tipo Teor

A B C D

S% 12% 16.7% 10.7%

Para fabricar farinha do tipo D. o padeiro mistura uma certa quantidade dc farinha A com 300 gramas de farinha tipo B; cm seguida, substitui 200 gramas dessa mistura por 200 gramas de farinha tipo C. Determine a quantidade de farinha tipo A utilizada. Solução:

Suponha que m é a quantidade usada da farinha A. Como a impureza percentual da farinha A é de 8%. então a massa de impureza devido à farinha A na primeira mistura vale m,\ = 0,08.m. Do mesmo modo, a massa de impureza devido à farinha B na primeira mistura vale I 2% de 300 g: iin< = 0.1 2.300 = 36 g .Assim, a impureza percentual da primeira mistura vale: m A + mn O.OS.rn + 36 xl =

mIMai

m + 300

Note que. apesar dc 200 g desta mistura serem retiradas, a impureza percentual se mantêm. Assim, antes dc misturar com 200 g da farinha C. a massa dc impureza dc m -1- 100 g desta mistura vale: O.OSm+36 (0.08m + 36)(m + 100) m =—————– .(m + 100) = —————– -— m + 300 m + 300 A massa da primeira mistura agora vale m + 100 gramas, pois 200 gramas foram retiradas 200 gramas da farinha C possuem uma massa de impureza igual a: m< = 0.167.200 = 33.4 g Como a impureza da mistura final deve scr dc 10.7%: (O.OSm+ 36)(m + 100) . + jj.4 ______ m + 300 _____________ 0.107 = m + 100+ 200 O.OSm2 +44m+3600+ 33.4m + 10020

0.107 = ______________ m + 300______________ m + 300 0.107(m + 300); = 0.08nr + 77,4m + 13620 =>

0.107m2 + 64,2m + 9630 = 0,08m2 + 77,4m + 13620 => 0.027nr-13.2m-3990 = 0 => 9m2 – 4400m – 1330000 = 0 Resolvendo esta equação de 2o grau: 4400 ± J(-4400)2 -4(9)(-1330000) 4400 ±767240000 m = 18 18

m =

4400 ±8200 18

(não convém pois m > 0) ou m = 700 g

6) (ENEM-16) A distribuição de salários pagos em uma empresa pode ser analisada destacando-se a parcela do total da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. Isso pode ser representado na forma de um gráfico formado por dois segmentos de reta, unidos em um ponto P. cuja ab.scissa tem valor igual a 90. como ilustrado na figura.

1 No eixo horizontal do gráfico tem-se o percentual de funcionários, ordenados de forma crescente pelos valores de seus salários, e no eixo vertical tem-se o percentual do total da massa salarial de todos os funcionários.

Quar.ccade de funcisnáros )

O índice de Gini, que mede o grau de concentração de renda de um determinado A grupo, pode ser calculado pela razão ——— , cm que A c B são as medidas das A+B áreas indicadas no gráfico. A empresa tem como meta tornar seu índice de Gini igual ao do país, que é 0.3. Para tanto, precisa ajustar os salários de modo a alterar o percentual que representa a parcela recebida pelos 10% dos funcionários de maior salário em relação ao total da massa salarial. Disponível em: «A\w.ipea.gov.br. Acesso em: 4 maio 2016 (adaptado).

Para atingir a meta desejada, o percentual deve ser a) 40% b)20% c) 60% d) 30% c) 70% Solução: Alternativa A Seja y a ordenada do ponto P. Assim, a área da região B vale: u 90.y (100 +v). 10 .nn B = ———-= 4oy + 2» 00 + oy = ?0y + >00 A área da região A vale: A =

Como —–— = 0,3 A+B

100.100 2

– B = 5000 – 50y – 500 = 4500 – 50y

A = O,3A + O,3B

=> 0,7A = 0.3B

0,7(4500 – 50y) = 0.3(50y + 500) => 3l5O-35y=l5y

=>

150 =>

50y=3000 => y = 60% Observando o gráfico, percebe-se que 90% dos funcionários concentram 60% da massa salarial da empresa. Assim, o percentual da massa salarial recebido pelos 10% com maior salário c 100% – 60% = 40%.

5.5.4. Fator de Multiplicação A regra apresentada anteriormente para cálculo de porcentagem é bastante útil quando deseja-se calcular apenas a porcentagem da grandeza. Nos casos em que o problema envolve um acréscimo ou decréscimo da grandeza há uma forma mais prática de determinar o valor final.

5.5.4.1. Acréscimo Uma vez que a razão centesimal associada à 100% é o número I ( = 1) e a razão centesimal associada à uma porcentagem qualquer x% é

100% =

x . . . … …. (o número ——. então para determinar o resultado de um acréscimo de x% no valor 100 da grandeza basta multiplicar o total da grandeza por 1 + y^. Ror exemplo, para

calcular o resultado do acréscimo de 10% no salário de RS 390.00 de um

empregado basta fazer [ 1 +

390.00) = (1.10)(RS 390.00) = RS 429.00.

A tabela abaixo mostra alguns fatores de multiplicação relativos aos seus ac rcsc i mos:___________ ___ __________________________________________ ■ Acréscimo pcrccntuai (x%) Fator dc multiplicação (1 + x/100) 1,10 20 1.20 50 1.50 100 2,00 200 3.00

L______ 1(i

j-

É interessante destacar um erro muito comum envolvendo acréscimos porcentuais. Suponha a situação da realização de uma pesquisa de intenção de votos para uma eleição. Na pesquisa, o candidato X, que na pesquisa anterior possuía 20% das intenções, passa agora a possuir 25% das intenções. É errado afirmar que o candidato aumentou suas intenções cm 5%. Na verdade, a forma correta é afirmar que as intenções de voto do candidato aumentaram em 5 pontos percentuais. Ponto percentual é a medida absoluta da porcentagem, uma vez que não pode-se esquecer que porcentagem é uma medida relativa a 100 unidades de uma grandeza. Caso deseja-se calcular o crescimento percentual das intenções de voto deve-se resolver a seguinte equação: I — = 22 x = 25 i 5 _1_ =x> x = 25%. ~l()0~20 100 20 “ 20 4

. — ..

. –

.

Logo, as intenções de voto do candidato aumentaram em 25%. passando de 20% para 25%. Um aumento de 5% sobre 20%. na verdade, passariam as intenções de voto ao candidato de 20% para í 1 + ^-^^.20% = 21 %. e nào para 25%.

5.5.4.2. Decréscimo O caso de decréscimo é bastante semelhante ao caso de acréscimo, a

diferença é que o fator de multiplicação para decréscimo vale

X

onde x é a

taxa percentual de decréscimo da grandeza. Por exemplo, se cm 2019 um total de 20 alunos foram reprovados em uma escola e observou-se para 2020 uma redução dc 30% na quantidade dc alunos reprovados então, cm valores absolutos, ficaram ( 30 A reprovados em 2020 exatamente I 1 -I(20) = (0,7)(20) = 14 alunos.

A tabela abaixo mostra alguns acrésc i mos:_______________________ Decréscimo percentual (x%) ____________ [0____________ ____________ 20____________ ____________ 50____________ ____________ 70____________ 100

fatores de multiplicação relativos aos seus Fator de multiplicação (1 – x/KKI)’ _____________ 0.90 _____________ 0.80 _____________ 0.50 _____________ 0.30 0

^xetcícios Resolvidos

1) (ENEM-13) O Conselho Monetário Nacional (CMN) determinou novas regras sobre o pagamento mínimo da fatura do cartão de crédito, a partir do mês de agosto de 201 I. A partir de então, o pagamento mensal nào poderá ser inferior a 15% do valor total da fatura. Em dezembro daquele ano. outra alteração foi efetuada: daí cm diante, o valor mínimo a ser pago seria de 20% da fatura. Dicpunhcl cm: Intp çl globo com. Accsv cm 2′> lev 2>’I2

Um determinado consumidor possuía no dia do vencimento, 01/03/2012. uma dívida de RS 1000,00 na fatura de seu cartão dc crédito. Se não houver pagamento do valor total da fatura, são cobrados juros de 10% sobre o saldo devedor para a próxima fatura. Para quitar sua dívida, optou por pagar sempre o mínimo da fatura a cada mês e nào efetuar mais nenhuma compra. A divida desse consumidor em 01/05/2012 será de a) RS 600,00. b) RS 640,00. 640.00. c) RS 722,50. e) RS 874,22. d) RS 774,40.

j

Solução: Alternativa D Em 01/03/2012 o consumidor vai pagar 20% do valor da fatura, ou seja. RS 200.00 deixando uma dívida de RS 800.00. Sobre este valor serão cobrados juros de 10% para a próxima fatura, ou seja, em 01/04/2012 a divida será 1.1 x RS 800,00 = RS 880,00. O consumir vai agora pagar 20% deste valor: 0,2 x RS 880,00 = RS 176,00, deixando uma divida de RS 880,00 — RS 1 76,00 = R$ 704.00. Para a próxima fatura serão cobrados juros de 10%, fazendo com que a dívida em 01.05.2012 será de 1,1 x RS 704,00 = RS 774.40 2) (Colégio Naval-89) Uma mercadoria que teve dois aumentos sucessivos de 30% c 20% deverá ter um único desconto de x% para voltar ao preço inicial. Logo: a) 30 < x < 35 b) 35 < x < 40 c) 45 < x < 55 d) 55 < x < 65 e) x > 65 Solução: Alternativa B Suponha que o valor inicial da mercadoria é y. Após o lc aumento de 30% passar a valer yi – 1,3y. Depois do 2o aumento de 20% passa a valer y? = (1,2)( 1,3y) = 1,56y O desconto de x% que faz com que o valor volte ao inicial é tal que:

(I – x)( 1,56v) = y =>

l-x = —— 1.56

=>

l-x = 0.64

=> x = 0.36 => x 2 36%

3) (Colégio Naval-06) Unia determinada conta a pagar de valor X vence no dia 30 de novembro, mas. se for paga até o dia 30 de setembro, tem 20% de desconto sobre X e. se for paga até o dia 31 de outubro, tem 10% de desconto sobre X. Alguém reservou o valor exato Y para pagar essa conta no dia 30 de setembro, no entanto esqueceu-se de fazê-lo c só efetuou esse pagamento no dia 3 I de outubro. Qual a porcentagem a mais sobre Y que terá de pagar? a) 10% b) 12.5% c) 17,5% d) 20% e) 25% Solução: Alternativa B Pagando dia 30/09 desembolsa-se Y = 0,8X e pagando dia 31/10 desembolsa-se 0.9X. Logo, o valor pago a mais em relação a Y vale: 212* = | + _L ]j25 = l + — => i=l2,5% 0.8X 100 100 4) (AEA-07) Apliquei meu capital da seguinte maneira: 30% em caderneta de poupança. 40% em letras de câmbio e o restante em ações. Na Ia aplicação, lucrei 20%; na 2a. lucrei 30% e na 3a perdi 25%. Se o resultado final corresponde a um lucro de x% sobre o capital aplicado, então x é igual a. a» 7.5 b) 10.5 c) 15 d) 17 Solução: Alternativa B r

■:

í

:

Seja C o valor do capital investido. Na caderneta foram investidos 0.3C. cm letras foram 0,4C e em ações foram 0.3C. O retorno da aplicação em caderneta foi de (i,2)(0,3C) = 0.36C, o retorno em letras foi de (l,3)(0,4C) = 0.52C e o retorno cm ações foi de (O,75)(O,3C) = 0.225C. Logo, o retorno total dos investimentos foi de 0,36C + 0.52C + 0.225C =1.105C. 1,105./ Assim, o lucro final foi de: = l + — => x= 10.5% / 100 5) (OBM-98) Seu Horácio resolveu incrementar a venda de CDs em sua loja c anunciou uma liquidação para um certo dia, com descontos de 30% sobre o preço das etiquetas. Acontece que. no dia anterior à liquidação, seu Horário aumentou o preço marcado nas etiquetas, de forma que o desconto verdadeiro fosse de apenas 9%. Dc quanto foi o aumento aplicado por seu Horácio? A)30% B)39% C)2I% D)40% E) 31 % Solução: Alternativa A Seja x o aumento percentual aplicado no dia anterior e P o preço inicial do CD. Assim: (I – 0,30)( I + x)P = ( I – 0,09)P => 0,70(1 + x) = 0.91 => 1 + x = 1,3 => x = 0,3 => x = 30% 6) (ENEM-15) Uma pessoa comercializa picolés. No segundo dia dc certo evento ela comprou 4 caixas dc picolés, pagando RS 16,00 a caixa com 20 picolés para revendê-los no evento. No dia anterior, ela havia comprado a mesma quantidade dc picolés, pagando a mesma quantia, e obtendo um lucro de RS 40,00 (obtido exclusivamente pela diferença entre o valor de venda e o dc compra dos picolés) com a venda de todos os picolés que possuía. Pesquisando o perfil do público que estará presente no evento, a pessoa avalia que será possível obter um lucro 20% maior do que o obtido com a venda no primeiro dia do evento. Para atingir seu objetivo, e supondo que todos os picolés disponíveis foram vendidos no segundo dia, o valor de venda de cada picolé, no segundo dia. deve ser a) R$0,96. b) R$1.00. e) RS 1.40. d) RS 1.50. e) RS 1.56.

Solução: Alternativa C O lucro é igual à subtração entre a receita e o custo: l,2 x 40 = 4x 20 xp-4x 16 => 48 = 80p – 64

80p = 112

p = 1,4

7) (Colégio Naval-03) João vendeu dois carros de modelos SL e SR. sendo o preço de custo do primeiro 20% mais caro que o do segundo. Em cada carro leve um lucro de 20% sobre os seus respectivos preços de venda. Se o total dessa venda foi RS 88 000,00, o preço de custo do segundo modelo era, em reais, igual a. a) 30 000,00 b) cf34 000,00 b) 32 32 000,00 000,00 d) 35 000,00 e) 36 000,00

Solução: Alternativa B Sejam xm. o preço de custo do carro modelo SL e xsr o preço de custo do carro modelo SR. Como Xsi. é 20% mais caro que Xsu tem-se que Xsi. = I ,20.Xsr Sejam ysi e y.sw os preços de venda dos modelos SL e SR, respectivamente. Se o lucro de cada carro é igual a 20% do preço de venda: 0,20.ysi. = ysL – Xsl => Xsl = 0.80ysu O mesmo vale para o modelo SR: xsr = 0.80ysi. Somando obtcm-sc xsi + xsr = 0.80(ysi. + ysR) => 1,20.Xsr + xsr = 0,80(88000) => 2,20xSr = 70400 => xsr = R$ 32000,00

8) (EPCAr-08) Um comerciante ao comprar livros que custavam x reais a unidade ficou ciente de que pagaria também um frete correspondente a 1,6% sobre o valor da compra. Ele resolveu pagar à vista após conseguir um desconto de 10% sobre o valor total dos livros, mas teve que assumir o valor original do frete, desembolsando, assim, RS 2.748,00 pela aquisição. Na venda, ele deu um preço aos livros visando lucrar 50% sobre a tabela original, onde cada um custava x reais. Após vender 4/5 do total de livros, ele os remarcou reduzindo o preço de cada um, 2m 20% Depois dc algum tempo, viu que havia vendido 2/3 do resto e ainda sobravam 10 livros, que foram doados a uma escola. Sc na comercialização ele iastou RS 252,00 a mais e ainda conseguiu, ao final, um lucro real de y% sobre iodos os gastos, é correto afirmar que y é igual a a) 20 ~ b) 24 c) 30 d) 36

Solução: Alternativa I) Seja N a quantidade total de livros. Assim:

I0 = n-^-2N

,0=N^-12-^ => N = 150 5 3 5 15 Logo. 2748 = 0.90.N x + 0.016.N.x => 2748 = 0.916.150.x => x = RS 20.00 Sc o comerciante visava vender os livros com um lucro dc 50% então seu interesse era vender cada um dos livros por z = (1,5)x = 1.5(20) = RS 30.00 Segundo o enunciado 4/5 dos 150 livros foram vendidos por este preço, que dã uma 4 4 receita dc: R. = —N.z = -. 150.30 => z = RS 3600,00 1 5 5 A segunda receita é dada por: N I >0 R, = (l-0.2)z =–^-0.8.30 => R? = RS 480,00 3 5 3 5 O lucro é dado por: l. = Ri • R; – Ci-C; = 3600+ 480- 2748- 252 = RS 1080.00 Desta forma, o lucro percentual vale: 1080 = 0,36 =, V = 36% y= C,+C, 2748+252

5.6. JUROS Antes de começar o estudo dos juros é necessário definir alguns conceitos que serão usados com freqüência nas situações propostas.

5.6.1. Definições: • Capital inicial (C): valor em dinheiro inicialmente utilizado na aplicação; • Taxa de juros (i): taxa percentual que é aplicada para o acréscimo do capital por período da aplicação. Sempre vem acompanhada do período da aplicação, por exemplo 5% a.a. (5% ao ano), 15% a.t. (15% ao trimestre), 1% a.m. (1% ao mês) ou 2% a.s. (2% ao semestre). De modo a simplificar os cálculos, é padrão dentro do cálculo de juros considerar os 12 meses do ano contendo exatamente 30 dias, bem como o ano sendo composto por 360 dias; • Juros (J): valor em dinheiro que deve ser pago a mais em relação ao capital inicial, devido a aplicação da taxa de juros, no final da aplicação; • Período da aplicação: intervalo de tempo que se passa entre duas aplicações consecutivas de juros; • Tempo: número de períodos da aplicação. E igual ao número de parcelas pagas. Por exemplo, em uma aplicação a juros simples de 18% a.a., a ser paga em 145 18% dias, o valor da taxa de juros ao dia é igual a —– = 0,05%, o período da aplicação 360 é diário e o tempo é de 145 dias; • Parcela: valor a ser pago a cada período da aplicação; • Montante (M): valor total pago ao final da aplicação. E igual ao capital inicial acrescido dos juros. • Juros simples: ocorre quando a taxa de juros incidir somente sobre o capital inicial. Nos juros simples os juros gerados a cada período não incidem novos juros, fazendo com que o valor a ser somado a cada parcela seja constante; • Juros compostos: ocorre quando os juros gerados a cada período são incorporados no cálculo dos juros no período seguinte. 5.6.2. Juros simples O regime de juros será simples quando a taxa percentual de juros incidir somente sobre o valor principal. Desta forma, os juros por período são iguais, bastando somá-los para determinar o valor total dos juros da aplicação:

J = C.i.t

Por exemplo, suponha que você deseja calcular quando vai ter que pagar a mais em relação ao capital inicial em uma aplicação a juros simples de 2% a.m. com capital inicial de R% 10.000,00 pagando 12 parcelas. Aplicando na fórmula: J = (RS 10.000,00)(0,02)( 12) = RS 2.400,00

r ■ , : – —J

:

Para o cálculo do montante basta somar os juros ao capital inicial:

M = C(1 + i.t) Por exemplo, para calcular o montante de uma aplicação de RS 1.200,00 a juros simples de 12% a.l. durante 4 meses e 15 dias, inicialmente deve-se observar que em um trimestre existem 6 quinzenas e que em 4 meses e 15 dias existem 9 12% quinzenas. Logo, a taxa de juros por quinzena vale —— = 2% e o tempo da 6 aplicação é de 9 quinzenas. Desta maneira: M = (RS 1 200,00)[ 1 + (0,02)(9)] = RS 1.416,00

£xercícios

Resolvidos

I) (UFPA-00) André devia, em seu cartão de crédito, RS 1.000,00. Como não conseguiu pagar, em dois meses essa dívida aumentou para RS 1.440,00. Nesse caso, qual foi a taxa de juros simples cobrada mensalmente pelo cartão de crédito? a) 7.2% b) 14,4 % c) 20 % d) 22% e)44% Solução: Alternativa D M = C(1 + i.t) => 1440 = 1000(1 + i.2) => 1 +2i= 1,44 => i = 0,22 => i = 22%

2) (EPCAr-05) A diferença entre dois capitais é de RS 200.00. estando o maior aplicado a juros simples de 20% ao ano e o menor a juros simples de 30% ao ano. Sabendo-se que os dois capitais produzem os mesmos juros após 1 852 dias, pode-se concluir que o capital maior é Obs.: Considere um ano comercial igual a 360 dias. a) RS 400.00 b) RS 500.00 c) RS 600,00 d) RS 700,00 Solução: Alternativa C 20% 1 n/ Na 1J aplicação a taxa de juros ao dia vale ——- = —%, enquanto que na 2 360—- 18 •

‘ •

i

30%

1

.

i

,

c igual a —— – = — %. Logo, igualando os juros 360 12 produzidos após 1852 em cada aplicação: Ci.ii.i = C2.Í2.t => C..-2—.I852 = C,.— .1852 C2 =-C, 2 3 1 1 1800 ‘ 1200 aplicação a taxa de juros

Assim: Ci-C2 = 200

=>

2

C,- —C,=200 3

=>

Ci = RS 600,00

‘ ‘j *——- a
, Vj eT, num segundo estado. Considerando a fórmula dada, analise as afirmativas abaixo. I – Pressão c volume são diretamente proporcionais. II – Pressão e temperatura são diretamente proporcionais. III – Volume e temperatura são inversamente proporcionais. Analise a alternativa correta. a) As afirmativas I. II e III são falsas. b) Apenas a afirmativa 1 é falsa. c) Apenas a afirmativa II é falsa. d) Apenas a afirmativa 111 é falsa. c) Apenas a afirmativa 1 c 111 são falsas. 24) (Colégio Naval-05) Uma herança P foi dividida por dois herdeiros, com idades, respectivamente, iguais a n e m, em partes diretamente proporcionais ao quadrado de suas idades. Qual foi a parte da herança recebida pelo herdeiro de idade n? P:n Pir , P’ir lx Pirm . P2irm c) ——— r a) b) c) – —– r d) ——– m* + n m ’ ■’ ‘ m‘ + n’ m’ + n‘ ■”

25) (Colégio Naval-06) As linhas da tabela abaixo mostram a variação de quatro grandezas: A. B , C e D. Observa-se, por exemplo, que quando a grandeza A vale 6 as grandezas B, C, e D valem, respectivamente, 18. 108 e 1. |6 A 3_ 9__ B 2 9_ 27 18 ‘ 108 27 C 243 2 D 1 1/3 3 Com base nos dados apresentados, analise as afirmativas abaixo. I- A grandeza A é diretamente proporcional a B. II – A grandeza A é diretamente proporcional a C. III- A grandeza A é inversamente proporcional a D. Assinale a opção correta. a) apenas a afirmativa I é verdadeira. b) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. c) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. e) as afirmativas I. II e III são verdadeiras. 26) (Colégio Naval-08) Dois amigos compraram uma rifa por R$ 20,00, cujo prêmio é de RS 1.000,00. Um deles deu RS 15.00. e. o outro, RS 5,00. Caso sejam contemplados, quantos reais a mais deverá receber o que deu a maior parte? a) RS 250 b) RS 300 c) RS 450 d) RS 500 E) RS 750

27) (Colégio Naval-17) Uma placa será confeccionada de modo que o emblema da empresa seja leito de um metal que custa R$ 5.00 o centímetro quadrado. O emblema consiste de três figuras planas semelhantes que lembram três árvores. Para as bases dessas “árvores”, consiroem-se segmentos de reta proporcionais a 3. 4 e 5. Se o custo da maior árvore do emblema ficou em R$ 800,00. qual o valor, em reais, de todo o emblema? d) I 120 e)1020 a) 1600 b) 1500 c)!200 28) (IME-07) Sejam a. b e c números reais não a + b b -r +c a +c . . . . . . a+b —— . determine o valor numérico de . b——————————————— c c a

nulos.

Sabendo

que

29) (Epcar-18) Até a primeira quinzena do mês de março de 2017. o combustível comercializado nos postos de nosso pais era uma mistura de 1 parle de etanol para 3 partes de gasolina. Considere esse combustível e um outro que apresenta a mistura de 4 partes de etanol para 9 partes de gasolina. Juntando-se volumes iguais dos dois combustíveis, a nova relação de etanol para gasolina, nesta ordem, será J ,x 5 .29 ,31

a) 9

b) — 12

c) — 75

d) — 75

30) (ENEM-15) Um paciente precisa ser submetido a um tratamento, sob orientação médica, com determinado medicamento. Há cinco possibilidades de medicação, variando a dosagem e o intervalo de ingestão do medicamento. As opções apresentadas são: A: um comprimido de 400 mg, de 3 em3 horas, durante 1 semana: B: um comprimido de 400 mg, de 4 em4 horas, durante 10 dias; C: um comprimido de 400 mg, de 6 em6 horas, durante 2 semanas; D: um comprimido de 500 mg, de 8 em8 horas, durante 10 dias; E: um comprimido de 500 mg, de 12 em 12 horas, durante 2 semanas. Para evitar efeitos colaterais e intoxicação, a recomendação é que a quantidade total de massa da medicação ingerida, em miligramas, seja a menor possível. Seguindo a recomendação, deve ser escolhida a opção a) A. b) B. c) C. d) D. e) E. 31) (OBM-99) Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se Foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar? D) 148 E) 152 C) 146 A) 132 B) 144

■^*11

32) (Olimpíada de Minas Gerais-04) Uma mistura do tipo I contém suco de limão, óleo e vinagre na proporção 1:2:3. Numa segunda mistura, do tipo 11, a proporção c 3:4 5. Qual c a proporção dc suco dc limão, óleo c vinagre numa mistura composta de um litro da mistura do tipo 1 mais um da mistura do tipo II? 33) (OBM-07) Sejam u.h,c e k números reais diferentes de zero satisfazendo as relações k = ——— = —-— = —— . Qual é o número de possíveis valores que k pode b+c c+ a a +b assumir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

34) (OBM-07) Em uma certa cidade, a razào entre o número de homens e mulheres é 2 : 3 e entre o número de mulheres e crianças é 8 : 1. A razão entre o número de adultos e crianças é: A) 5 : l B) 16 : I C) 12 : 1 D)40 : 3 E) 13 : 1

35) (Olimpíada do Rio dc Janeiro-02) Seu Manoel c dono de uma adega e vende determinadas misturas de vinho. Ele dispõe em seu estoque de um vaso onde há 12 litros dc vinho e 18 litros de água e de outro onde há 9 litros dc vinho e 3 litros de água. Um cliente fez um pedido especial e Seu Manoel se viu com o seguinte dilema Quantos litros deveria tirar, de cada vaso, para obter uma mistura com 14 litros que contenham partes iguais de água e vinho? 36) (Olimpíada do Espírito Santo-04) Um saco dc balas foi distribuído entre André, Bruno e Carlos na proporção 5:4:3. Eles notaram que se a mesma quantidade de balas fosse distribuída na proporção 7:6:5. um deles recebería 40 balas a mais Determine o número de balas que cada um recebeu.

37) (Olimpíada de Goiás-13) Os organizadores de uma festa de aniversário preparam um suco de fruta misturando uma parte de suco concentrado e quatro partes de água. Com esta diluição, a quantidade de suco concentrado que eles têm permite servir exatamente 400 mi de suco para cada convidado. (a) Nestas condições, cada litro de suco concentrado é suficiente para preparar suco para quantas pessoas? (b) Na última hora avisaram que virão à festa cinco pessoas a mais que o previsto. O líder da equipe pensou rapidamente e concluiu que basta mudarem a diluição do suco para cinco partes de água para cada parte de suco concentrado, e novamente terão o equivalente a 400 ml por pessoa. Diante destas informações, qual era o número de convidados previsto originalmente?

Regra de três I) (ENEM-09) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa fornecería 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de RS 10.00 por trabalhador por dia de trabalho, e RS 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria a) manter sua proposta. b) oferecer 4 máquinas a mais. c) oferecer 6 trabalhadores a mais. d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.

2) (ENEM-15) Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de 5 400 camisetas por dia, com uma jornada de trabalho diária dos funcionários de 6 horas. Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma nova campanha de marketing, o número de encomendas cresceu de fôrma acentuada, aumentando a demanda diária para 21 600 camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de funcionários para 96. Ainda assim, a carga horária de trabalho necessita ser ajustada. Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a demanda? a) 1 hora e 30 minutos. b) 2 horas e 15 minutos. c) 9 horas. d) 16 horas. e) 24 horas. 3) (Euvest-IO) Uni automóvel, modelo ílex, consome 34 litros de gasolina para percorrer 374km. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel consome 37 litros deste combustível para percorrer 259km. Suponha que um litro de gasolina custe R$2.20. Qual deve ser o preço do litro do álcool para que o custo do quilômetro rodado por esse automóvel, usando somente gasolina ou somente álcool como combustível, seja o mesmo? d) R$1,30 e) R$1.40 a) R$1.00 b) R$l,10 c) R$1,20

4) (Unimontes-10) Numa fazenda, um grupo de 15 trabalhadores colheu 360 sacas de café em 6 horas. No dia seguinte, mais 6 trabalhadores juntaram-se ao grupo e terminaram a colheita, totalizando 420 sacas no dia. Quanto tempo a menos eles trabalharam em relação ao dia anterior? A)lh20min. B) 5h. C)2h. D) Ih.

5) (CM Brasília-14) Um estudo recente apresentado por pesquisadores nos Estados Unidos sugere que a eletricidade gerada, a partir dc estrume dc vacas, pode ser economicamente viável. O processo de produção de energia se dá de maneira simples. O esterco é depositado em um digestor anaeróbico e lá permanece por alguns dias submetido a altas temperaturas. As bactérias ali contidas convertem os resíduos em gás metano, que sobe pela tubulação e alimenta um motor de gás natural modificado, que por sua vez produz eletricidade. Tendo em vista que 30 Kg de esterco de vaca geram eletricidade suficiente para alimentar duas Lâmpadas dc 100W por 24 horas, a quantidade dc esterco dc vaca necessária para gerar eletricidade suficiente para alimentar I2 lâmpadas de I00W por 4 horas é igual a: A ( ) 30 Kg B ( ) 300 Kg C( ) 833 Kg l)( ) 1080 Kg E ( ) I 800 Kg

6) (ENEM-09) Um pequeno caminhão dispõe de dois reservatórios vazios, cada uni com capacidade de 2 000 kg, os quais serão utilizados para transportar a produção de milho e soja até um centro consumidor. No centro de abastecimento abre-se o registro de um primeiro silo às 12 horas para alimentar o reservatório I com milho, numa taxa de 120 kg por minuto. Passados cinco minutos, abre-se o registro de um segundo silo para alimentar o reservatório 2 com soja, numa taxa de 80 kg por minuto. Considere que a encomenda de milho no centro consumidor seja de I 800 kg e que, pela lei rodoviária local, a carga máxima a ser transportada por caminhão seja de 3 400 kg. I Silo 1 i

Silo 2

\——-

Rpservaiôno 1

Reservatório 2

Milho

Soja

Nestas condições, em que instantes devem ser fechados os registros dos silos 1 e 2, respectivamente, para que a quantidade de soja transportada seja a máxima possível? b) I2hl5min e I2h25min a) 12h 15min e 12h20min d) I2hl5minc !2h30min c) I2hl5minc 12h27min30scg e) I2hl5mine 12h32min30seg

7) (CM Brasília-04) Numa fábrica. 10 máquinas trabalhando 20 dias produzem 2000 peças. Quantas máquinas serão necessárias para produzir 1680 peças cm 6 dias? C ( ) 38 máquinas A ( ) 18 máquinas B ( ) 28 máquinas E ( ) 26 máquinas D ( ) 8 máquinas 8) (CM Brasília-05) Antônio constrói 20 cadeiras em 3 dias, trabalhando 4 horas por dia. Severino constrói 15 cadeiras do mesmo tipo em 8 dias, trabalhando 2 horas por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de 6 horas por dia. em quantos dias se produzirão 250 cadeiras? A ( ) 24 B ( ) 20 C(),16 D( ) 12 E( )8

9) (CM Brasília-07) Se m homens fazem um trabalho em d dias, então m homens farão o trabalho em A ( ) d + r dias. D()

d m+r

dias.

B ( ) d – r dias.

C( )

m+r

r

dias,

E ( ) r dias.

10) (CM Brasília-08) Uma montadora recebeu uma encomenda de 40 carros. A montadora trabalhou durante 5 dias; utilizando 6 robôs, de mesmo rendimento, que trabalham 8 horas por dia para atender esta encomenda. Uma outra encomenda foi feita, para montar 60 carros. Mas um dos robôs apresentou um defeito e não pôde ser usado no trabalho. Para atender o cliente a montadora precisou trabalhar 12 horas por dia. o número de dias que a fábrica trabalhou para entregar os dois pedidos foi: A( )5 B( )6 E( ) 13 D ( ) 12 C ( ) 11 11) (CM Brasilia-08) Trabalhando 6 horas por dia, 8 diagramadores paginaram 3/8 de um livro em 5 dias. Para terminar a paginação desse livro, trabalhando com 3 diagramadores a menos, reduzindo-se o tempo de trabalho diário em I hora e mantidas as proporções, serão necessários mais a) 8 dias b) 12 dias c) 16 dias d) 20 dias c) 25 dias

12) (CM Brasilia-09) A energia eólica é obtida pelo movimento do ar (vento) e é hoje considerada uma das mais promissoras tomes naturais de energia, principalmente porque é renovável, ou seja, não se esgota. Além disso, as turbinas eólicas podem ser utilizadas tanto em conexão com redes elétricas como em lugares isolados. Na cidade de Osório. RS, temos o parque eólico de Osório. Ele é composto por 75 torres de aerogeradores. O prefeito de uma cidade vizinha encomendou 50 torres de aerogeradores. A fábrica montou as torres em 50 dias utilizando 18 robôs de mesmo rendimento, que trabalhavam 8 horas por dia. lima

. …….. .. . rí ,_.:C nova encomenda foi feita pelo mesmo cliente, desta vez 60 torres. Nessa ocasião, liès robôs não participaram da montagem. Para atender o cliente, a fábrica trabalhou 12 horas por dia. Dc acordo com os dados do texto, determine o número dc dias necessários para que a fábrica entregue as duas encomendas. A < ) exatamente 100 B ( ) mais de 100 C ( ) entre 90 e 100 D ( ) menos de 90 E ( ) Exatamente 90 13) (CM Manaus-10) Vinte e cinco tecelões, trabalhando 7 horas por dia, durante 18 dias, fizeram 750 melros de certo tecido. Quantos tecelões trabalhando 9 horas por dia. durante 14 dias, seriam necessários para fazer 630 metros do mesmo tecido? a) 20 tecelões b) 21 tecelões c) 22 tecelões d) 23 tecelões e) 24 tecelões 14) (CM RJ-05) Um certo trabalho é feito por 16 tratores iguais em 10 dias, cada um deles trabalhando 10 horas por dia. Após dois dias de trabalho, 6 tratores apresentaram defeitos, não podendo mais serem utilizados. Quantas horas por dia deverão trabalhar os demais tratores, prevendo que ocorrerá um atraso de 8 dias para o término do trabalho? A)6h. B)8h. C)l0h. D) 12 li. E) 15 h. 15) (CM R.I-06) Em 30 dias, 24 operários asfaltam uma avenida de 960 melros de comprimento por 9 melros de largura. Nas mesmas condições de trabalho, quantos operários seriam necessários para fazer o asfaltamento. em 20 dias, de uma avenida de 600 melros de comprimento e 10 metros de largura? A) 25 B ) 28 C)31 D) 34 E)*37

16) (CM RJ-09) Um sistema dc máquinas demora 37 segundos para produzir unia peça. O tempo necessário para produzir 250 peças é: (A) Ih 53min e 30s (B) (R) 2h 43min e 20s (C) 2h 34min e 1 Os (D) 1 h 37min e 37s (E) 2h 55min e 40s 17) (CM Salvador-06) Dois homens trabalhando 10 horas por dia pintaram uma mansão em exatas 48 horas. Em quantas horas. 4 homens, com a mesma capacidade e condições de trabalho, trabalhando durante 6 horas por dia. pintam a mesma mansão? (E) 40 horas (A) 24 horas (B) 30 horas (C) 36 horas (D) 38 horas

18) (CM Santa Maria-05) Um aluno resolve 6 problemas de matemática em meia hora, enquanto come 3 biscoitos e bebe uma xícara de café. Se considerarmos que o biscoito diminui a eficiência, e o café a estimula, quantos exercícios resolvería comendo 8 biscoitos e bebendo 4 xícaras de café em 2 horas? a. ()9 b. ()36 c. í) 24. d. ( ) 256 e. ()318

. 1. 27171.2 ^Ir712.1Z2:1212cfl1:1 / 22 19) (CM Santa Maria-05) Sabe-se que byte é a unidade de medida usada para a memória do computador c para o armazenamento de dados. Quando um programa c instalado em um computador ele fica armazenado no disco rígido. Sabcndo-se que 1 kbyte é igual a 1024 bytes, o número de bytes de um computador que tem 64 kbytes é: b. () 65536 c. ( ) 59869 a. () 65256 d. () 49789 e. ( ) 50004

20) (Epcar-1 I) Para a reforma do Ginásio de Esportes da EPCAR foram contratados 24 operários. Eles iniciaram a reforma no dia 19 de abril de 2010 (2a feira) c executaram 40% do trabalho cm 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. No final do 10’1 dia. 4 operários foram dispensados. No dia seguinte, os operários restantes retomaram o trabalho, trabalhando 6 horas por dia e concluíram a reforma. Sabendo-se que o trabalho foi executado nos dois momentos sem Ibiga em nenhum dia, o dia da semana correspondente ao último dia do término de todo o trabalho é a) domingo. c) terça-feira. b) segunda-feira. d) quarta-feira. 21) (Colégio Naval-16) Para capinar um terreno circular plano, de raio 7 m. uma máquina gasta 5 horas. Quantas horas gastará essa máquina para capinar um terreno em iguais condições com 14 m de raio? e) 30 a) 10 b) 15 c)20 d)25 22) (Epcar-12) A quantidade de suco existente na cantina de uma escola é suficiente para atender o consumo de 30 crianças durante 30 dias. Sabe-se que cada criança consome, por dia, a mesma quantidade de suco que qualquer outra criança desta escola. Passados 18 dias, 6 crianças tiveram que se ausentar desta escola por motivo de saúde. E correio afirmar que. se não houver mais ausências nem retornos, a quantidade de suco restante atenderá o grupo remanescente por um período de tempo que somado aos 18 dias já passados, ultrapassa os 30 dias inicialmente previstos em a) 10% b) 20% c)5% d) 15%

23) (Epcar-17) Certa máquina, funcionando normalmente 5 horas por dia. gasta 3 dias para produzir 1200 embalagens. Atualmente está com esse tempo de funcionamento diário reduzido em 20%, trabalhando, assim, apenas T horas por dia. Para atender uma encomenda de 1840 embalagens, aproveitando ao máximo em todos os dias o seu tempo T de funcionamento, ela gastará no último dia a) 120 minutos b) 150 minutos c) 180 minutos d) 200 minutos

1 24) (Colégio Naval-80) Com uma produção diária constante, uma máquina produz 200 peças cm D dias. Se a produção diária fosse de mais 15 peças, levaria menos 12 dias para produzir as 200 peças. O número D c um número: (A) múltiplo de 6 (B) primo (C) menor que I 7 (E) entre I 7 c 24 (D) maior que 24 25) (Colégio Naval-81) Em um problema dc regra de três composta, entre as variáveis X. Y e Z. sabe-se que. quando o valor de y aumenta, o de x também aumenta; mas. quando z aumenta, o valor de x diminui , e que para X = 1 e Y = 2, o valor de Z = 4. O valor de X, para Y = I 8 e Z = 3é: (E) 18 (A) 6.75 (B) 0,333… (C) 15 (D) 12 26) (EPCAr-00) Se 16 homens gastam 10 dias montando 32 máquinas, o número de dias que 20 homens necessitarão para montar 60 máquinas é a) par. b) ímpar. c) primo, d) não inteiro. 27) (EPCAr-05) Se x homens, trabalhando x horas por dia durante x dias, produzem x artigos, então, o número de dias necessário para que y homens, trabalhando y horas por dia produzam um número y de artigos é

a)Z x

b)^ y

c)4 x’

d) — y

28) (EPCAr-06) Um tear eletrônico, trabalhando 5 horas por dia. produz 1200 peças cm 3 dias. O número de horas que deverá trabalhar no 8° dia para produzir 1840 peças, se o regime de trabalho fosse 3 horas diárias, seria um número do intervalo b)[3.4[ c) [4, 6[ d)[l,2[ a)(2.3( 29) (EPCAr-07) Trinta operários trabalhando 8 horas por dia, constroem 36 casas em 6 meses. O número de dias que deverão ser trabalhados no último mês para que 2/3 dos operários, trabalhando 2 horas a mais por dia. construam 0.75 das casas, considerando um mês igual a 30 dias, é a)10 b) 12 c) 15 d) 16 30) (OBM-98) Para fazer 12 bolinhos, preciso exatamente de lOOg de açúcar, 50g de manteiga, meio litro de leite e 400g de farinha. A maior quantidade desses bolinhos que serei capaz de fazer com 500g de açúcar. 300g de manteiga, 4 litros de leite e 5 quilogramas de farinha é: A) 48 ~ B)60 C) 72 E) 42 D) 54

(lê-se “maior ou igual a”) e < (lê-se “menor ou igual a”). • Expressões algébricas: são as expressões que contém as variáveis submetidas às seis operações elementares (adição, subtração, multiplicação, divisão.

potenciação e radiciação). não incluindo as potências de expoente variável e as raízes de índice variável. Por exemplo, 5x2y‘z-í, x3 + 3×2 – 2x – 1 e 4ab + x^/y são expressões algébricas.

• Expressões algébricas racionais e irracionais: expressões racionais são as que não contêm variáveis dentro de um radical e também que não possuem variáveis com expoente fracionário. Por exemplo, são racionais as expressões xy + 3×2 – 4y’, x+y , enquanto que são irracionais as expressões x? + yjx.y . e x/x2 + y2 X ’ -2z 4×3

X .

• Expressões de uma e de mais de uma variável: pode-se classificar as expressões de acordo com o número de variáveis. Por exemplo, supondo que a. b e , , ax2 + b são expressões algébricas de uma variável c são constantes. ax- + bx + c e——–c.x + 7 ax + by + ez são (nos dois casos a variável é x). enquanto que ax‘+ — e ax – by – cz cy expressões algébricas de mais de uma variável, no caso a Ia é de duas variáveis (x e y) e a 2J é de três variáveis (x. y e z). • Termo: é a parte fundamental das expressões algébricas. É constituído das variáveis e constantes interligadas pelas operações elementares, com exceção da 9x 5 a’ x1 adição e subtração. Por exemplo, 4x?y, –=—. —’ ; representam lermos de uma y 6b’y’ expressão algébrica. Na expressão algébrica x-’ + 3x2y + 3xy2 + y ’ os termos que a compõe são x3, 3x2y. 3xy2 e y3. Um termo é constituído de três parles: sinal, coeficiente e parte literal. Sinal é o + ou – que está escrito à frente do termo. Quando o sinal é + não é necessário escrevê-lo nos monômios ou no primeiro termo de um polinômio. Coeficiente de um termo é o número que nele figura. Para determiná-lo é preciso saber quais são as constantes e quais são as variáveis que compõe o termo. Por exemplo, no termo 7a3bx2y ‘ se a c b são constantes e x c y forem as variáveis, então 7a3b é o coeficiente do termo. Porém, se a. b. x e y forem variáveis, então o coeficiente c somente o número 7. A parte literal de um termo c composta por suas variáveis. Por exemplo, no termo – 12a2b íxV ‘. se a e b forem constantes, a parte literal é x^y”7.

• Monômio: é a expressão algébrica constituída de um só termo. Por exemplo, a 7×3 expressão algébrica —é um monômio. 2>/y • Polinômio: é a expressão algébrica constituída de um ou mais termos. O polinômio constituído de um termo é chamado de monômio, o constituído de dois

lermos é denominado de binômio e ao constituído dc três termos é denominado dc trinômio. Por exemplo, a expressão algébrica 5x5y – 8x2y” + 9xy’ é um polinômio nas variáveis x e y.

• Termos semelhantes: são aqueles que têm a mesma parte literal. Logo, supondo que a c b são constantes c x c y são variáveis, os termos 7a2bx3y’ e — 9a’b2a y são semelhantes. • Redução de termos semelhantes: Para reduzir dois ou mais termos semelhantes basta compor um teimo que possui a mesma parle literal destes lermos e cujo coeficiente c igual à soma dos seus coeficientes, levando cm consideração seus sinais. Assim, temos que 5x2y3 + 9x2y3 = I4xY e também que — 8a2bc;’ + 2a2bc? 3a2bc’ = — 9a2bc?. • Grau dc um monômio: grau de um monômio é igual à soma dos expoentes das variáveis que formam o monômio, levando-se em consideração o sinal de cada expoente. Desta forma, o grau do monômio 26x3y6z-5 vale 3 + 6 + ( — 5) = 4. Esta definição também se aplica quando há expoentes fracionários. Por exemplo, para calcular o I

erau do 5

monômio

3×2 P = —=

«

P = 3x:v ’z2w 2 c somar os expoentes:

bastar reescrevê-lo da

2_i+í_2=_:—I .

forma

„ Para representar o

3 2 2 3 grau de um polinômio P utiliza-se a simbologia